[TI] Finished chapter 5 mostly

semester3/numcs/numcs-summary.tex

@@ -152,7 +152,8 @@ Moral of the story: Use descriptive variable names and do NOT use $t$, $tt$, $tt
 \input{parts/03_zeros/00_intro.tex}
 \input{parts/03_zeros/01_termination-criteria.tex}
 \input{parts/03_zeros/02_fix-point-iteration.tex}
-\input{parts/03_zeros/03_interval-splitting.tex}
+\input{parts/03_zeros/03_bisection-method.tex}
+\input{parts/03_zeros/04_newton-one-d.tex}
 
 
 

semester3/numcs/parts/03_zeros/03_bisection-method.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\newsection
+\subsection{Intervallhalbierungsverfahren}
+Die Idee hier ist, das Intervall immer weiter zu halbieren und ein bekannterer Namen für dieses Verfahren ist \bi{Bisektionsverfahren}.
+
+\innumpy haben wir \texttt{scipy.optimize.bisect} und \texttt{scipy.optimize.fsolve}, wobei \texttt{fsolve} ein alter Algorithmus ist.
+
+Im Skript auf Seiten 206 - 207 findet sich eine manuelle implementation des Bisektionsverfahren.
+Der Code ist jedoch (at the time of writing) nicht ausführbar aufgrund von \texttt{IndentationErrors}
+
+Das Bisektionsverfahren konvergiert linear und kann nur für Funktionen verwenden, bei welchen die Nullstellen auf beiden Seiten jeweils ungleiche Vorzeichen haben.
+
+% TODO: Need to add the formula from SPAM script

semester3/numcs/parts/03_zeros/03_interval-splitting.tex

@@ -1,2 +0,0 @@
-\newsection
-\subsection{Intervallhalbierungsverfahren}

semester3/numcs/parts/03_zeros/04_newton-one-d.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\newsectionNoPB
+\subsection{Newtonverfahren in 1D}

semester3/ti/parts/04_computability/01_reduction.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \newpage
 \subsection{Die Methode der Reduktion}
+% TODO: Add guide for reducing languages
 \fancydef{Rekursiv reduzierbare Sprache} Eine Sprache $L_1 \subseteq \word_1$ ist auf $L_2 \subseteq \word_2$ rekursiv reduzierbar, geschrieben $L_1 \leq_R L_2$,
 falls $L_2 \in \cL_R \Rightarrow L_1 \in \cL_R$.
 

semester3/ti/parts/04_computability/02_rice.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\subsection{Der Satz von Rice}
+\inlinedef $L$ heisst \bi{semantisch nichttriviales Entscheidungsproblem über Turingmaschinen}, falls folgende Bedingungen gelten:
+\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \item Es gibt eine TM $M_1$, so dass $\text{Kod}(M_1) \in L$ (also $L \neq \emptyset$)
+    \item Es gibt eine TM $M_2$, so dass $\text{Kod}(M_2) \notin L$ (also sind nicht alle Kodierungen in $L$)
+    \item für zwei TM $A$ und $B$: $L(A) = L(B) \Rightarrow \text{Kod}(A) \in L \Leftrightarrow \text{Kod}(B) \in L$
+\end{enumerate}
+
+Sei $L_{H, \lambda} = \{ \text{Kod}(M) \divides M \text{ hält auf } \lambda \}$ ein spezifisches Halteproblem.
+
+\inlinelemma $L_{H, \lambda} \notin \cL_R$
+\inlineproof Auf Seite 146 im Buch (= 159 im PDF)
+
+\begin{theorem}[]{Satz von Rice}
+    Jedes semantisch nichttriviale Entscheidungsproblem über Turingmaschinen ist unentscheidbar.
+\end{theorem}
+\inlineproof Ausführlich im Buch auf Seiten 146 - 149 beschrieben (= 159 - 162 im PDF)
+\stepcounter{subsection}

semester3/ti/parts/04_computability/03_kolmogorov.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\subsection{Die Methode der Kolmogorov-Komplexität}
+\inlinetheorem Das Probelem, für jedes $x \in \wordbool$ die Kolmogorov-Komplexität $K(x)$ von $x$ zu berechnen ist algorithmisch unlösbar.
+
+\inlinelemma Falls $L_H \in \cL_R$, dann existiert ein Algorithmus zur Berechnung der Kolmogorov-Komplexität $K(x)$ für jedes $x\in \wordbool$
+
+% TODO: See if we need to do these kinds of proofs and if so, elaborate

semester3/ti/ti-summary.tex

@@ -96,6 +96,8 @@
 \stepcounter{subsection}
 \input{parts/04_computability/00_intro.tex}
 \input{parts/04_computability/01_reduction.tex}
+\input{parts/04_computability/02_rice.tex}
+\input{parts/04_computability/03_kolmogorov.tex}
 
 
 \end{document}