[PS] Intro: Examples, properties

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex

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 \shortterm $\Omega$ \bi{Grundraum}, $\omega \in \Omega$ \bi{Elementarereignis}
 
 \shortdefinition[Sigma-Algebra] $\cF \subseteq \cP(\Omega)$ ist $\sigma$-Algebra, falls:
-\begin{enumerate}[label=E\arabic*.]
+\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
     \item $\Omega \subseteq \cF$
     \item $A \in \cF \Rightarrow A^C \in \cF$ ($A$ Ereignis $\Rightarrow$ nicht $A$ auch)
     \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \cF$\\
         ($A_1, \ldots$ Ereignisse $\Rightarrow$ $A_1$ oder $A_2$ oder \dots ein Ereignis)
 \end{enumerate}
-\shortexample $\sigma$-Algebren beim einmal. Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$)
+
+\shortexample $\sigma$-Algebren bei 1x Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$)
 \begin{itemize}
     \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \}$
     \item $\cF = \cP(\Omega)$, dabei $|\cF| = 64$
     \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$
 \end{itemize}
+
 Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
 \begin{itemize}
     \item $\cF = \{ \Omega \}$ (Komplementärereignis $\emptyset$ fehlt, E2 verletzt)
@@ -23,8 +25,8 @@ Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
 
 
 \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsmass}
-\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$ und falls folgende Eigenschaften gelten
-\begin{enumerate}[label=E\arabic*]
+\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$, falls folgende Eigenschaften gelten
+\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
     \item $\P[\Omega] = 1$
     \item ($\sigma$-\bi{Additivität}) $\P[A] = \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$,\\
           falls $A = \bigcup_{i = 1}^\infty A_i$ \textit{(disjunkte Vereinigung)}
@@ -41,3 +43,5 @@ Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
 \shortdefinition[W.R] ein Tripel $(\Omega, \cF, \P)$
 
 \shortterm $A$ Ereignis, \bi{tritt (nicht) ein} (für $\omega$), if $\omega \in (\notin) A$
+
+\shortremark $A = \varnothing$ tritt niemals ein, $A = \Omega$ immer.

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\subsection{Beispiele von Wahrscheinlichkeitsräumen}
+\shortdefinition[Laplace Modell] $(\Omega, \cF, \P)$, sodass $\cF = \cP(\Omega)$ und $\P: \cF \rightarrow [0, 1] \defAs \forall A \in \cF \quad \P[A] = \frac{|A|}{|Q|}$, $\P$ ist W.M.
+
+\shortexample Auf Kreis mit $n \geq 3$ Punkten, Modell für Nachbaren ist:
+$A = \{ \{ 1, 2 \}, \ldots, \{ n - 1, n \}, \{ n, 1 \} \}$ für\\
+$\Omega = \{ E \subseteq \{ 1, \ldots, n \} \divider |E| = 2 \}$, also $\P[A] = \frac{n}{{n \choose 2}} = \frac{2}{n - 1}$
+
+\shortexample W. 1. mal Kopf ist bei Wurf $k$: $p_k = p^{k - 1} (1 - p)$

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/02_properties-of-events.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\subsection{Eigenschaften/Interp. von Ereignissen}
+\shorttheorem $\cF$ $\sigma$-Algebra. Es gilt: \textbf{E4.} $\varnothing \in \cF$
+\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.},start=5]
+    \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcap_{i = A}^\infty A_i \in \cF$
+    \item $A, B \in \cF \Rightarrow A \cup B \in \cF$
+    \item $A, B \in \cF \Rightarrow A \cap B \in \cF$
+\end{enumerate}
+
+\begin{tabular}{ll}
+    $A^C$                    & $A$ tritt \bi{nicht} ein              \\
+    $A \cap B$               & $A$ \bi{und} $B$ treten ein           \\
+    $A \cup B$               & $A$ \bi{oder} $B$ treten ein          \\
+    $A \Delta B$             & entweder $A$ \bi{oder} $B$ tritt ein  \\
+    $A \subseteq B$          & $B$ tritt ein, falls $A$ eintritt     \\
+    $A \cap B = \varnothing$ & $A$ und $B$ nicht gleichzeitig        \\
+    \makecell{$\Omega = A_1 \cup A_2 \cup A_3$ mit                   \\ $A_1, A_2, A_3$ paarw. disj.}
+                            & \makecell{$\forall \omega \in \Omega$ \\ nur eines von $A_1, A_2, A_3$\\kann eintreten}
+\end{tabular}
+
+Wir wählen nicht immer $\cF = \cP(\Omega)$, bspw. für mehrstufige Experimente ist dies nicht ideal (k. Filtern, Überabzählbarkeit)\\[-1.1\baselineskip]

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\subsection{Eigenschaften Wahrscheinlichkeitsmasse}
+\shorttheorem $\P$ Wahrscheinlichkeitsmass auf $(\Omega, \cF)$, $A$ Ereignis:
+\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
+    \item Es gilt $\P[\varnothing] = 0$
+    \item \bi{Additivität} $k \geq 1$, $A_1, \ldots, A_k$ paarw. disj. Ereignisse:\\
+          $\P[A_1 \cup \dots \cup A_k] = \P[A_1] + \dots + \P[A_k]$
+    \item $\P[A^C] = 1 - \P[A]$
+    \item $B$ Ereignis, dann $\P[A \cup B] = \P[A] + \P[B] - \P[A \cap B]$
+\end{enumerate}
+
+\newpage
+\subsubsection{Nützliche Ungleichungen}
+\shorttheorem[Monot.] $A, B \in \cF$, dann $A \subseteq B \Rightarrow \P[A] \leq \P[B]$
+
+\shorttheorem[Union Bound] Für $A_1, A_2, \ldots$ (mögl. disj.) gilt:
+$\P\left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$.
+Auch für endl. n.-leere Ereignisse
+
+\subsubsection{Anwendungen der Ungleichungen}

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\subsection{Abstrakte Definition}