diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex index 22d8f0c..5567d5c 100644 --- a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/00_probability-space.tex @@ -2,18 +2,20 @@ \shortterm $\Omega$ \bi{Grundraum}, $\omega \in \Omega$ \bi{Elementarereignis} \shortdefinition[Sigma-Algebra] $\cF \subseteq \cP(\Omega)$ ist $\sigma$-Algebra, falls: -\begin{enumerate}[label=E\arabic*.] +\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}] \item $\Omega \subseteq \cF$ \item $A \in \cF \Rightarrow A^C \in \cF$ ($A$ Ereignis $\Rightarrow$ nicht $A$ auch) \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \cF$\\ ($A_1, \ldots$ Ereignisse $\Rightarrow$ $A_1$ oder $A_2$ oder \dots ein Ereignis) \end{enumerate} -\shortexample $\sigma$-Algebren beim einmal. Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$) + +\shortexample $\sigma$-Algebren bei 1x Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$) \begin{itemize} \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \}$ \item $\cF = \cP(\Omega)$, dabei $|\cF| = 64$ \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$ \end{itemize} + Keine $\sigma$-Algebren sind bspw: \begin{itemize} \item $\cF = \{ \Omega \}$ (Komplementärereignis $\emptyset$ fehlt, E2 verletzt) @@ -23,8 +25,8 @@ Keine $\sigma$-Algebren sind bspw: \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsmass} -\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$ und falls folgende Eigenschaften gelten -\begin{enumerate}[label=E\arabic*] +\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$, falls folgende Eigenschaften gelten +\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}] \item $\P[\Omega] = 1$ \item ($\sigma$-\bi{Additivität}) $\P[A] = \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$,\\ falls $A = \bigcup_{i = 1}^\infty A_i$ \textit{(disjunkte Vereinigung)} @@ -41,3 +43,5 @@ Keine $\sigma$-Algebren sind bspw: \shortdefinition[W.R] ein Tripel $(\Omega, \cF, \P)$ \shortterm $A$ Ereignis, \bi{tritt (nicht) ein} (für $\omega$), if $\omega \in (\notin) A$ + +\shortremark $A = \varnothing$ tritt niemals ein, $A = \Omega$ immer. diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex new file mode 100644 index 0000000..23dc1a4 --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +\subsection{Beispiele von Wahrscheinlichkeitsräumen} +\shortdefinition[Laplace Modell] $(\Omega, \cF, \P)$, sodass $\cF = \cP(\Omega)$ und $\P: \cF \rightarrow [0, 1] \defAs \forall A \in \cF \quad \P[A] = \frac{|A|}{|Q|}$, $\P$ ist W.M. + +\shortexample Auf Kreis mit $n \geq 3$ Punkten, Modell für Nachbaren ist: +$A = \{ \{ 1, 2 \}, \ldots, \{ n - 1, n \}, \{ n, 1 \} \}$ für\\ +$\Omega = \{ E \subseteq \{ 1, \ldots, n \} \divider |E| = 2 \}$, also $\P[A] = \frac{n}{{n \choose 2}} = \frac{2}{n - 1}$ + +\shortexample W. 1. mal Kopf ist bei Wurf $k$: $p_k = p^{k - 1} (1 - p)$ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/02_properties-of-events.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/02_properties-of-events.tex new file mode 100644 index 0000000..51c70fd --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/02_properties-of-events.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\subsection{Eigenschaften/Interp. von Ereignissen} +\shorttheorem $\cF$ $\sigma$-Algebra. Es gilt: \textbf{E4.} $\varnothing \in \cF$ +\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.},start=5] + \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcap_{i = A}^\infty A_i \in \cF$ + \item $A, B \in \cF \Rightarrow A \cup B \in \cF$ + \item $A, B \in \cF \Rightarrow A \cap B \in \cF$ +\end{enumerate} + +\begin{tabular}{ll} + $A^C$ & $A$ tritt \bi{nicht} ein \\ + $A \cap B$ & $A$ \bi{und} $B$ treten ein \\ + $A \cup B$ & $A$ \bi{oder} $B$ treten ein \\ + $A \Delta B$ & entweder $A$ \bi{oder} $B$ tritt ein \\ + $A \subseteq B$ & $B$ tritt ein, falls $A$ eintritt \\ + $A \cap B = \varnothing$ & $A$ und $B$ nicht gleichzeitig \\ + \makecell{$\Omega = A_1 \cup A_2 \cup A_3$ mit \\ $A_1, A_2, A_3$ paarw. disj.} + & \makecell{$\forall \omega \in \Omega$ \\ nur eines von $A_1, A_2, A_3$\\kann eintreten} +\end{tabular} + +Wir wählen nicht immer $\cF = \cP(\Omega)$, bspw. für mehrstufige Experimente ist dies nicht ideal (k. Filtern, Überabzählbarkeit)\\[-1.1\baselineskip] diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex new file mode 100644 index 0000000..28549f8 --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +\subsection{Eigenschaften Wahrscheinlichkeitsmasse} +\shorttheorem $\P$ Wahrscheinlichkeitsmass auf $(\Omega, \cF)$, $A$ Ereignis: +\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}] + \item Es gilt $\P[\varnothing] = 0$ + \item \bi{Additivität} $k \geq 1$, $A_1, \ldots, A_k$ paarw. disj. Ereignisse:\\ + $\P[A_1 \cup \dots \cup A_k] = \P[A_1] + \dots + \P[A_k]$ + \item $\P[A^C] = 1 - \P[A]$ + \item $B$ Ereignis, dann $\P[A \cup B] = \P[A] + \P[B] - \P[A \cap B]$ +\end{enumerate} + +\newpage +\subsubsection{Nützliche Ungleichungen} +\shorttheorem[Monot.] $A, B \in \cF$, dann $A \subseteq B \Rightarrow \P[A] \leq \P[B]$ + +\shorttheorem[Union Bound] Für $A_1, A_2, \ldots$ (mögl. disj.) gilt: +$\P\left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$. +Auch für endl. n.-leere Ereignisse + +\subsubsection{Anwendungen der Ungleichungen} diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex new file mode 100644 index 0000000..2ce76c4 --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex @@ -0,0 +1 @@ +\subsection{Abstrakte Definition} diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_intro.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_intro.tex deleted file mode 100644 index e69de29..0000000 diff --git a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf index 1700909..045fdfb 100644 Binary files a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf and b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf differ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex index 8bcdec5..c18cb63 100644 --- a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex +++ b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex @@ -17,7 +17,14 @@ \section{Basics} \input{parts/00_basics/00_probability-space.tex} +\input{parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex} +\input{parts/00_basics/02_properties-of-events.tex} +\input{parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex} % \input{parts/00_basics/} +\section{Zufallsvar., Verteilungsfunktionen} +\input{parts/01_random-variables/00_definition.tex} +% \input{parts/01_random-variables/} + \end{document}