eth-summaries/semester3/numcs/parts/03_zeros/05_sectant-method.tex

\newsectionNoPB
\subsection{Sekantenverfahren}
Falls die Ableitung zu teuer oder nicht verfügbar ist, kann man sie durch $q^(k) := \frac{F(x^{(k)}) - F(x^{(k - 1)})}{x^{(k)} - x^{(k - 1)}}$.
Dann ist ein Schritt:
\rmvspace
\begin{align*}
    \tilde{F}(x) = F(x^{(k)}) + q^{(k)} (x - x^{(k)}) \Longrightarrow x^{(k + 1)} := x^{(k)} - \frac{F(x^{(k)})}{q^{(k)}}, \smallhspace \text{ falls } q^{(k)} \neq 0
\end{align*}

\innumpy Das Sekanten-Verfahren lässt sich im Prinzip ähnlich implementieren wie Newton:

\begin{code}{python}
def secant_method(f, x0: float, x1: float, tol=1e-12, maxIter=100):
    """ Use secant method, which approximates the derivative """
    f0 = f(x0)
    for i in range(maxIter):
        fn = f(x1)
        secant = fn * (x1-x0) / (fn - f0)   # Approximate derivative via secant
        x0 = x1; x1 -= secant
        
        if np.abs(secant) < tol: return x1, i
        else: f0 = fn
        
    return None, maxIter
\end{code}