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\subsection{Beweise der Nichtexistenz}
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Im Gegensatz zum Beweis, dass eine bestimmte Klasse von Programmen (Algorithmen) ein Problem lösen kann
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(was ein einfacher Existenzbeweis ist, bei welchem man eine korrekte Implementation liefern kann),
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ist der Beweis, dass diese Klasse von Programmen (Algorithmen) dies nicht tun kann viel schwieriger,
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da man (logischerweise) nicht für alle (undendlich vielen) Programme zeigen kann, dass sie das Problem nicht lösen.
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In diesem Kurs werden wir aber vorerst nur die Klasse der endlichen Automaten behandlen, welche sehr stark eingeschränkt sind,
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was diese Beweise verhältnismässig einfach macht.
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Falls also ein EA $A$ für zwei unterschiedliche Wörter $x$ und $y$ im gleichen Zustand endet (also $\hdelta(q_0, x) = \hdelta(q_0, y))$),
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so heisst das für uns von jetzt an, dass $A$ nicht zwischen $x$ und $y$ unterscheiden kann:
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\begin{lemma}[]{Unterscheidung von Wörtern}
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Sei $A$ ein EA über $\Sigma$ und $x \neq y \in \Sigma^*$ so dass
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\begin{align*}
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(q_0, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda) \text{ und } (q_0, y) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)
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\end{align*}
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für ein $p \in Q$ (also $\hdelta_A (q_0, x) = \hdelta(q_0, y) = p(x, y \in \class [p])$).
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Dann existiert für jedes $z \in \Sigma^*$ ein $r \in Q$, so dass $xz, yz \in \class[p]$, also gilt insbesondere
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\begin{align*}
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xz \in L(A) \Longleftrightarrow yz \in L(A)
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\end{align*}
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\end{lemma}
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Das obenstehende Lemma 3.3 ist ein Spezialfall einer Eigenschaft, die für jedes (deterministische) Rechnermodell gilt.
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Mithilfe von Lemma 3.3 kann man für viele Sprachen deren Nichtregularität beweisen.
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\inlineex Sei $L = \{ 0^n1^n \divides n \in \N \}$.
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Intuitiv ist diese Sprache Nichtregulär, da $n$ undendlich gross sein kann, aber ein EA logischerweise endlich ist.
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Wir müssen hier nur formal ausdrücken, dass das Zählen benötigt wird, dass $L$ akzeptiert wird:
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Dazu benutzen wir einen indirekten Beweis. Sei $A$ ein EA über $\alphabets{bool}$ und $L(A) = L$.
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Die Idee des Beweises ist nun zu zeigen, dass für alle $0, 0^1, \ldots 0^{|Q| + 1}$, man ein $i, j$ hat für welches Lemma 3.3 nicht zutrifft.
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