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\subsection{NP-Vollständigkeit}
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Es sind mittlerweile über 3000 Probleme bekannt, für welche wir keinen Algorithmus kennen, der in polynomieller Zeit läuft.
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Es ist aber bis jetzt niemandem gelungen, eine höhere untere Schranke für alle zu beweisen, als $\tcl{n}$.
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Wie bereits bei der Berechenbarkeit benutzen wir eine Reduktion.
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Falls jedes Problem aus $NP$ effizient auf ein Problem $L \in NP$ reduzierbar ist, so ist $L$ schwer.
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\begin{definition}[]{Polynomielle Reduktion}
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$L_1 \subseteq \word_1$ ist \bi{polynomiell reduzierbar auf} $L_2 \subseteq \word_2$, geschrieben $L_1 \leq_p L_2$,
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falls eine polynomielle TM $A$ existiert, die für jedes Wort $x \in \word_1$ ein Word $A(x) \in \word_2$ berechnet, so dass
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\begin{align*}
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x \in L_1 \Longleftrightarrow A(x) \in L_2
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\end{align*}
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$A$ wird eine polynomielle Reduktion von $L_1$ auf $L_2$ genannt.
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\end{definition}
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Wieder bedeutet $L_1 \leq_p L_2$, dass $L_2$ mindestens so schwer ist wie $L_1$
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\begin{definition}[]{$NP$-Schwer}
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Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Schwer}, falls für alle $L' \in NP$ gilt $L' \leq_p L$.
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Eine Sprache $L$ ist \bi{$NP$-Vollständig}, falls
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\drmvspace
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
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\item $L \in NP$
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\item $L$ $NP$-Schwer ist.
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{definition}
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\inlinelemma Falls $L \in P$ und $L$ ist $NP$-schwer, dann gilt $P = NP$
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\fancytheorem{Cook} $SAT$ ist $NP$-Vollständig
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Der Beweis hierfür liefert eine grobe Struktur für weitere Beweise dieser Art und ist auf Seiten 199 - 205 im Buch (= Seiten 211 - 217 im PDF) zu finden.
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Jedoch sind diese Beweise sehr gross und deshalb nicht prüfungsrelevant.
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\inlinelemma Falls $L_1 \leq_p L_2$ und $L_1$ ist $NP$-Schwer, so ist auch $L_2$ $NP$-Schwer
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Betrachten wir folgende Sprachen:
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\begin{align*}
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SAT & = \{ \Phi \divides \Phi \text{ ist eine erfüllbare Formel in CNF} \} \\
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CLIQUE & = \{ (G, k) \divides G \text{ ist ein ungerichteter Graph, der eine $k$-clique enthält} \} \\
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VC & = \{ (G, k) \divides G \text{ ist ein ungerichteter Graph mit einer Kontenüberdeckung der Mächtigkeit höchstens } k \}
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\end{align*}
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Wir erinnern uns daran, dass eine Kontenüberdeckung eines Graphen $G = (V, E)$ jede Menge von Konten $U \subseteq V$ ist,
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so dass jede Kante aus $E$ mindestens einen Endpunkt in $U$ hat.
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\inlinelemma $SAT \leq_p CLIQUE$
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\inlinelemma $CLIQUE \leq_p VC$
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\inlinelemma $SAT \leq_p 3SAT$, wobei wir beim $3SAT$-Problem bestimmen wollen, ob eine Formel in $3CNF$ (CNF, aber alle Klauseln enthalten höchstens $3$ Variabeln) erfüllbar ist.
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\begin{definition}[]{$NPO$}
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$NPO$ ist die Klasse der Optimierungsprobleme, mit $U = (\Sigma_I, \Sigma_O, L, \cM, \text{cost}, \text{goal}) \in NPO$, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
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\begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
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\item $L \in P$
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\item Es existiert ein Polynom $p_U$, so dass
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Für jedes $x \in L$ und jedes $y \in \cM(x)$
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\item es existiert ein polynomieller Algorithmus $A$, der für jedes $y \in \word_O$ und jedes $x \in L$ mit $|y| \leq p_U(|x|)$ entscheidet,
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ob $y \in \cM(x)$ oder nicht
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\end{enumerate}
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\item Die Funktion $\text{cost}$ kann man in polynomieller Zeit berechnen.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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Ein Optimierungsproblem $U$ ist also in $NPO$, falls
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\begin{enumerate}[noitemsep]
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\item man effizient überprüfen kann, ob ein gegebenes Wort ein Problemfall von $U$ ist
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\item die Grösse der Lösungen polynomiell in der Grösse des Problemfalls (Eingabe) und in polynomieller Zeit verifizert werden kann,
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ob $y$ eine zulässige Lösung für einen gegebenen Problemfall ist
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\item man die Kosten der zulässigen Lösung effizient berechnen kann
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\end{enumerate}
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$\text{MAX-SAT}$ liegt in $NPO$
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\begin{definition}[]{PO}
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$PO$ ist die Klasse von Optimierungsproblemen $U = (\Sigma_I, \Sigma_O, L, \cM, \text{cost}, \text{goal})$, so dass
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $U \in NPO$
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\item $\exists$ polynomieller Algorithmus $A$, so dass $A(x)$ für jedes $x \in L$ die optimale Lösung für $x$ ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}[]{Schwellenwert-Sprache}
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Die Schwellenwert-Sprache für $U$ (ein Optimierungsproblem aus $NPO$) ist
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\begin{align*}
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\text{Lang}_U = \{ (x, a) \in L \times \wordbool \divides \text{Opt}_U(x) \leq \text{Nummer}(a) \}
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\end{align*}
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mit $\text{Opt}_U(x)$ die optimale Lösung, falls $\text{goal} = \text{Minimum}$, und
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\begin{align*}
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\text{Lang}_U = \{ (x, a) \in L \times \wordbool \divides \text{Opt}_U(x) \leq \text{Nummer}(a) \}
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\end{align*}
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falls $\text{goal} = \text{Maximum}$
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Wir sagen, dass $U$ \bi{NP-schwer} ist, falls $\text{Lang}_U$ NP-schwer ist.
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\end{definition}
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\inlinelemma Falls ein Optimierungsproblem $U \in PO$, dann $\text{Lang}_U \in P$
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\inlinetheorem Sei $U \in NPO$. Falls $U$ NP-schwer ist und $P \neq NP$, dann $U \notin PO$
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\inlinelemma MAX-SAT ist NP-schwer.
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\inlinelemma MAX-CL (Das Problem der maximalen Clique) ist NP-schwer
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Um zu zeigen, dass solche Probleme $U$ NP-schwer sind, reicht es zu zeigen, dass $\text{Lang}_U$ NP-schwer ist, was wir mit einer $P$-Reduktion machen können.
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