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\subsubsection{Gauss Elimination / LU Zerlegung}
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Das Anwenden der Gauss-Elimintation ergibt die LU-Zerlegung, gegeben durch $A \in \mathbb{R}^{n\times m} = PLU$,
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wobei $U$ eine obere Dreiecksmatrix (die resultierende Matrix der Gauss-Elimintation), $L$ eine untere Dreiecksmatrix (Matrix aller Schritte der Gauss-Elimintation)
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und $P$ eine Permutationsmatrix ist.
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\innumpy können wir \texttt{P, L, U = scipy.linalg.lu(A)} (\texttt{Numpy} liefert keine LU-Zerlegung). Mit \texttt{scipy.linalg.lu\_solve(P, L, U)} kann man dann das System lösen.
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Jedoch ist dies nicht sinnvoll, wenn wir die Dreiecksmatrizen gar nicht benötigen. In diesem Fall verwenden wir einfach \texttt{numpy.linalg.solve(A)}
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\begin{code}{python}
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L = np.linalg.solve(A) # A = L @ L.T
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y = np.linalg.solve(L, b)
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x = np.linalg.solve(L.T, y)
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\end{code}
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\shade{Cyan}{Cholesky Zerlegung} ($A$ ist positiv defefinit und hermetisch)
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$A = LDL^H = \underbrace{L\sqrt{D}}_{R^H}\underbrace{\sqrt{D}L^H}_{R} = R^H R$
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Diese Zerlegung kann $Ax = b$ potenziell schneller lösen als LU.
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\innumpy haben wir via \texttt{scipy.linalg} die Funktionen \texttt{cholesky}, \texttt{cho\_factor} und \texttt{cho\_solve}, wie auch bereits äquivalent für die LU-Zerlegung
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