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\subsection{Grundlagen}
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\inlineremark Eine Tabelle mit invertierbaren und nicht invertierbaren Matrizen findet sich unten:
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\begin{tables}{ll}{Invertierbar & Nicht Invertierbar}
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$A$ ist regulär & $A$ ist singulär \\
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Spalten sind linear unabhängig & Spalten sind linear abhängig \\
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Zeilen sind linear unabhängig & Zeilen sind linear abhängig \\
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$\det(A) \neq 0$ & $\det(A) = 0$ \\
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$Ax = 0$ hat eine Lösung $x = b$ & $Ax = 0$ hat unendlich viele Lösungen \\
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$Ax = b$ hat eine Lösung $x = A^{-1}b$ & $Ax = b$ hat keine oder unendlich viele Lösungen \\
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$A$ hat vollen Rang & $A$ hat Rang $r < n$ \\
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$A$ hat $n$ non-zero Pivots & $A$ hat $r < n$ Pivots \\
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$\text{span}\{A_{:, 1}, \ldots, A_{:, n}\}$ hat Dimension $n$ & $\text{span}\{A_{:, 1}, \ldots, A_{:, n}\}$ hat Dimension $r < n$ \\
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$\text{span}\{A_{1, :}, \ldots, A_{n, :}\}$ hat Dimension $n$ & $\text{span}\{A_{1, :}, \ldots, A_{n, :}\}$ hat Dimension $r < n$ \\
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Alle Eigenwerte von $A$ sind nicht Null & $0$ ist der Eigenwert von $A$ \\
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$0 \notin \sigma(A) =$ Spektrum von $A$ & $0 \in \sigma(A)$ \\
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$A^H A$ ist symmetrisch positiv definit & $A^H A$ ist nur semidefinit \\
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$A$ hat $n$ (positive) Singulärwerte & $A$ hat $r < n$ (positive) Singulärwerte \\
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\end{tables}
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\fancydef{Orthogonale Vektoren} Vektoren $q_1, \ldots, q_n$ heissen \bi{orthogonal}, falls
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\rmvspace
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\begin{align*}
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q_i^H \cdot q_j = 0 \smallhspace \forall i, j \leq n \text{ with } i \neq j
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\end{align*}
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\drmvspace
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Wenn sie zudem normiert sind (also $||q_i||_2 = 1 \smallhspace \forall i \leq n$), dann heissen sie \bi{orthonormal}
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\inlineremark In der vorigen Definition wird die \bi{Euklidische Norm} $||q||_2^2 = q^H \cdot q$ verwendet
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\setLabelNumber{all}{7}
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\fancyremark{Rotationen} Die Rotationsmatrix für eine Rotation um Winkel $\theta$ ist gegeben durch:
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\rmvspace
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\begin{align*}
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R_\theta =
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\begin{bmatrix}
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\cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\
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0 & 1 & 0 \\
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\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
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\end{bmatrix}
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\end{align*}
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\textbf{Perturbierte LGS}
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Statt $Ax = b$ ist das LGS ungenau gegeben: $(A + \Delta A)(\tilde{x} - x) = \Delta b - \Delta Ax$.
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$\text{cond}(A) := \left\lvert\left\lvert A^{-1} \right\rvert\right\rvert \cdot \lvert\lvert A \rvert\rvert \in \mathbb{R}$ (Konditionszahl von $A$)
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$\text{cond}(A) \gg 1$ bedeutet intuitiv: kleine Änderung der Daten $\mapsto$ grosse Änderung in der Lösung
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\textbf{Grosse Matrizen}
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Passen oft nicht (direkt) in den Speicher: effizientere Speicherung nötig, möglich für z.B. Diagonalmatrizen, Dreiecksmatrizen. Auch für Cholesky möglich.
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\textbf{Dünnbesetzte Matrizen}
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$\text{nnz}(A) := |\{ (i,j) \ |\ a_{ij} \in A, a_{ij} \neq 0 \}| \ll m\cdot n$
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$\limit{l}{\infty} \frac{\text{nnz}(A^{(l)})}{n_l m_l} = 0$
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Einfacher zu speichern: \verb|val, col, row| sind Vektoren so dass \verb|val[k]| $ = a_{ij}$, wobei $i=$ \verb|row[k]|, $j=$ \verb|col[k]|. (nur $a_{ij} \neq 0$)
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Viele Formate, je nach Anwendung gewisse sinnvoller als andere. (Siehe Tabelle, NumCSE)
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\verb|scipy.sparse.csr_matrix(A)| $\mapsto$ Dramatische Speichereinsparung.\\
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Deprecated: \verb|bsr_array| und \verb|coo_array| verwenden, kompatibel mit \verb|numpy| arrays.
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\verb|CSC, CSR| erlauben weitere Optimierungen, je nach Gewichtung der $a_{ij}$ auf Zeilen, Spalten.
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