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% │ AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com> │
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\newsectionNoPB
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\subsection{Quadratur in $\R^d$ und dünne Gitter}
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Eine einfache Option wäre natürlich, zwei eindimensionale Quadraturformeln aneinander zu hängen.
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Für zweidimensionale Funktionen sieht dies so aus:
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\rmvspace
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\begin{align*}
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I = \int_{j_1}^{n_1} \sum_{j_2}^{n_2} \omega_{j_1}^1 \omega_{j_2}^2 f(c_{j_1}^1, c_{j_2}^2)
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\end{align*}
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\drmvspace
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und für beliebige $d$ haben wir
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\rmvspace
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\begin{align*}
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\left( w_{j_k}^k, c_{j_k}^k \right)_{1 \leq j_k \leq n_k} \smallhspace k = 1, \ldots, d
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\end{align*}
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\drmvspace
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Was dasselbe ist, wie oben, aber mit $d$ Summen und $d$-mal ein $w_{j_k}$ und eine $d$-dimensionale Funktion $f$
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% https://www.slingacademy.com/article/scipy-integrate-simpson-function-4-examples/ explains scipy's n-d integration well
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% TODO: Insert code for multi dimensional quadrature from exercise
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\begin{recall}[]{Tensor-Produkt}
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\TODO Write this section
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\end{recall}
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Die wichtigste Erkenntnis aus diesem Abschnitt ist die Idee, ein \bi{Sparse-Grid} zu verwenden, um die Rechenarbeit zu reduzieren.
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\innumpy Gibt es die Möglichkeit Sparse-Grid arrays mit \texttt{scipy.sparse} zu erstellen.
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