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\setcounter{subsection}{2}
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\subsection{Grundbegriffe und -Ideen}
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Es ist oft nicht möglich oder sinnvoll einen Integral analytisch zu berechnen.
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Mit Methoden der Quadratur können wir Integrale nummerisch berechnen.
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\innumpy kann \texttt{scipy.integrate.quad} verwendet werden.
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Falls man jedoch eine manuelle Implementation erstellen will, so nutzt man oft die Trapez- oder Simpson-Regel, da sie sowohl einfach zu implementieren, wie auch effizient sind.
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In gewissen Anwendungen sind Gauss-Quadratur-Formeln nützlich, welche man durch Spektralmethoden ersetzen kann, welche die FFT verwenden und effizienter sind.
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\begin{definition}[]{Quadratur}
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Ein Integral kann durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten der Funktion $f$ an verschiedenen Stellen $c_i^n$ approximiert werden:
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\begin{align*}
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\int_{a}^{b} f(x) \dx \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
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\end{align*}
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wobei $\omega_i^n$ die \textit{Gewichte} und $c_i^n \in [a, b]$ die \textit{Knoten} der Quadraturformel sind.
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\end{definition}
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Wir wollen natürlich wieder $c_i^n \in [a, b]$ und $w_i^n$ so wählen, dass der Fehler minimiert wird.
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\begin{definition}[]{Fehler}
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Der Fehler der Quadratur $Q_n(f)$ ist
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\begin{align*}
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E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx - Q_n(f; a, b) \right|
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\end{align*}
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Wir haben \bi{algebraische Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{\frac{1}{n^p}}$ mit $p > 0$ und
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\bi{exponentielle Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{q^n}$ mit $0 \leq q < 1$
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\end{definition}
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Die Idee, den Integral einer schweren Funktion zu berechnen, ist diese mit einer einfachen Funktion, die analytisch integrierbar ist, zu approximieren.
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Wenn wir diese Funktion geschickt wählen, dann ist es sogar möglich, dass wir nur eine solche Funktion für alle Funktionen $f$ benötigen.
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% Der Polynom, das Ansatz, yep... excellent German there
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