[PS] Finish basic summary

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex

@@ -25,8 +25,10 @@ Sie sind nützlich für schwer zu berechnende W.
 
 {\centering $\limni P[A_n] = \P\left[ \bigcup_{n = 1}^\8 A_n \right]$\\}
 
-und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt:\\
-$\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 B_n \right]$
+und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt:
+
+{\centering $\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 B_n \right]$\\}
+
+\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und
 
-\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und\\
 $\P[B_n] \geq \P[B_{n + 1}]$. Grenzwerte oben wohldefiniert.

semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\shortdefinition[Konfidenzbereich] ist für $\vartheta$ zu Daten $x_i$ eine Menge $C(x_1, \ldots, x_n) \subseteq \Theta$.
+Mit gen. Z.V. ist $\tilde{C}(\cX_1, \ldots \cX_n)$ eine \bi{zuf. Teilm. v.} $\Theta$, Real. $\tilde{C}(\omega) = C(\cX_1(\omega), \ldots, \cX_n(\omega))$.
+Für $\alpha \in [0, 1]$ ist $C$ \bi{Konfidenzbereich zum Niveau} $1 - \alpha$, falls
+\[
+    \P_\vartheta[C(\cX_1, \ldots, \cX_n) \ni \vartheta] \geq 1 - \alpha \quad \forall \vartheta \in \Theta
+\]

semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\shortdefinition[Konfidenzintervall (K.I.)] mit Niveau $1 - \alpha$ ist Zufallsintervall $I = [A, B]$ s.d. $\forall \vartheta \in \Theta$ gilt:
+\[
+    \P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha
+\]
+mit $A, B$ Z.V. wie $A = a(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit $a, b: \R^n \rightarrow \R$.
+Dabei ist $\vartheta$ deterministisch
+
+\shortremark[Approx. K.I.] Nur wenn genaue Verteilungsaussagen zur Verfügung stehen, sind exakte K.I. möglich,
+sonst mittels zentralem Grenzwertsatz approx. berechnen ($z = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$)
+\[
+    P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha
+\]
+Auflösen von
+\[
+    |S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta)
+\]
+$\vartheta$ ist kompliziert, ersetzen der Ugl. durch Gl. (quad. Gl.)
+\[
+    \hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})}
+\]
+Konfidenzintervall ist $[\hat{\vartheta}_-, \hat{\vartheta}_+]$.
+
+\shade{gray}{Alternative Methoden} (Annahme $\vartheta(1 - \vartheta) \approx \frac{1}{4}$):
+\[
+    \left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right]
+\]
+(Ersetzen von $\vartheta$ durch $\overline{S}_n$):
+\[
+    \left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right]
+\]
+Alle Methoden liefern unterschiedliche Resultate

semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/00_permutations.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\subsection{Permutationen}
+{\scriptsize Auf wieviele Arten kann man $n$ Objekte anordnen}
+
+\bi{ohne Wiederholung} $n!$

semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/01_combinations.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\subsection{Kombinationen}
+{\scriptsize Auf wieviele Arten kann man $k \leq n$ von $n$ Objekten auswählen?}
+
+\bi{Ohne Zurücklegen} ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$;
+\bi{Mit} ${n + k - 1 \choose k}$

semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/02_variations.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\subsection{Variationen}
+{\scriptsize Wie viele Sequenzen der Länge $m$ kann man mit $m$ Elementen bilden?}
+
+\bi{Ohne Zurücklegen} $\frac{n!}{(n - m)!}$; \bi{Mit} $n^m$

semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\subsection{Standard-Normalverteilung}
+Tabelle mit Werten der $\Phi$-Funktion der Verteilung
+
+\includegraphics[width=1\columnwidth]{assets/standard-normal-distribution-table.png}

semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex

@@ -107,5 +107,23 @@
 \input{parts/07_tests/03_p-value.tex}
 % \input{parts/07_tests/}
 
+\newsection
+\section{Konfidenzbereiche}
+\input{parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex}
+\input{parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex}
+% \input{parts/08_confidence-intervals/}
+
+\newsection
+\section{Kombinatorik}
+\input{parts/09_combinatorics/00_permutations.tex}
+\input{parts/09_combinatorics/01_combinations.tex}
+\input{parts/09_combinatorics/02_variations.tex}
+% \input{parts/09_combinatorics/}
+
+
+\newsectionNoPB
+\section{Kombinatorik}
+\input{parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex}
+% \input{parts/10_tips-and-tricks/}
 
 \end{document}