diff --git a/semester4/ps/ps-jh/assets/standard-normal-distribution-table.png b/semester4/ps/ps-jh/assets/standard-normal-distribution-table.png new file mode 100644 index 0000000..ad04058 Binary files /dev/null and b/semester4/ps/ps-jh/assets/standard-normal-distribution-table.png differ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex index 1b48342..737ecd8 100644 --- a/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex @@ -25,8 +25,10 @@ Sie sind nützlich für schwer zu berechnende W. {\centering $\limni P[A_n] = \P\left[ \bigcup_{n = 1}^\8 A_n \right]$\\} -und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt:\\ -$\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 B_n \right]$ +und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt: + +{\centering $\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 B_n \right]$\\} + +\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und -\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und\\ $\P[B_n] \geq \P[B_{n + 1}]$. Grenzwerte oben wohldefiniert. diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex new file mode 100644 index 0000000..f501005 --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex @@ -0,0 +1,6 @@ +\shortdefinition[Konfidenzbereich] ist für $\vartheta$ zu Daten $x_i$ eine Menge $C(x_1, \ldots, x_n) \subseteq \Theta$. +Mit gen. Z.V. ist $\tilde{C}(\cX_1, \ldots \cX_n)$ eine \bi{zuf. Teilm. v.} $\Theta$, Real. $\tilde{C}(\omega) = C(\cX_1(\omega), \ldots, \cX_n(\omega))$. +Für $\alpha \in [0, 1]$ ist $C$ \bi{Konfidenzbereich zum Niveau} $1 - \alpha$, falls +\[ + \P_\vartheta[C(\cX_1, \ldots, \cX_n) \ni \vartheta] \geq 1 - \alpha \quad \forall \vartheta \in \Theta +\] diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex new file mode 100644 index 0000000..e0f171c --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\shortdefinition[Konfidenzintervall (K.I.)] mit Niveau $1 - \alpha$ ist Zufallsintervall $I = [A, B]$ s.d. $\forall \vartheta \in \Theta$ gilt: +\[ + \P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha +\] +mit $A, B$ Z.V. wie $A = a(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit $a, b: \R^n \rightarrow \R$. +Dabei ist $\vartheta$ deterministisch + +\shortremark[Approx. K.I.] Nur wenn genaue Verteilungsaussagen zur Verfügung stehen, sind exakte K.I. möglich, +sonst mittels zentralem Grenzwertsatz approx. berechnen ($z = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$) +\[ + P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha +\] +Auflösen von +\[ + |S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta) +\] +$\vartheta$ ist kompliziert, ersetzen der Ugl. durch Gl. (quad. Gl.) +\[ + \hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})} +\] +Konfidenzintervall ist $[\hat{\vartheta}_-, \hat{\vartheta}_+]$. + +\shade{gray}{Alternative Methoden} (Annahme $\vartheta(1 - \vartheta) \approx \frac{1}{4}$): +\[ + \left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right] +\] +(Ersetzen von $\vartheta$ durch $\overline{S}_n$): +\[ + \left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right] +\] +Alle Methoden liefern unterschiedliche Resultate diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/00_permutations.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/00_permutations.tex new file mode 100644 index 0000000..3bf5aae --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/00_permutations.tex @@ -0,0 +1,4 @@ +\subsection{Permutationen} +{\scriptsize Auf wieviele Arten kann man $n$ Objekte anordnen} + +\bi{ohne Wiederholung} $n!$ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/01_combinations.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/01_combinations.tex new file mode 100644 index 0000000..f8215da --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/01_combinations.tex @@ -0,0 +1,5 @@ +\subsection{Kombinationen} +{\scriptsize Auf wieviele Arten kann man $k \leq n$ von $n$ Objekten auswählen?} + +\bi{Ohne Zurücklegen} ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$; +\bi{Mit} ${n + k - 1 \choose k}$ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/02_variations.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/02_variations.tex new file mode 100644 index 0000000..10a998e --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/09_combinatorics/02_variations.tex @@ -0,0 +1,4 @@ +\subsection{Variationen} +{\scriptsize Wie viele Sequenzen der Länge $m$ kann man mit $m$ Elementen bilden?} + +\bi{Ohne Zurücklegen} $\frac{n!}{(n - m)!}$; \bi{Mit} $n^m$ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex b/semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex new file mode 100644 index 0000000..d43e2cc --- /dev/null +++ b/semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex @@ -0,0 +1,4 @@ +\subsection{Standard-Normalverteilung} +Tabelle mit Werten der $\Phi$-Funktion der Verteilung + +\includegraphics[width=1\columnwidth]{assets/standard-normal-distribution-table.png} diff --git a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf index 581904b..ee521bf 100644 Binary files a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf and b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.pdf differ diff --git a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex index 328029c..38326d1 100644 --- a/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex +++ b/semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex @@ -107,5 +107,23 @@ \input{parts/07_tests/03_p-value.tex} % \input{parts/07_tests/} +\newsection +\section{Konfidenzbereiche} +\input{parts/08_confidence-intervals/00_regions.tex} +\input{parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex} +% \input{parts/08_confidence-intervals/} + +\newsection +\section{Kombinatorik} +\input{parts/09_combinatorics/00_permutations.tex} +\input{parts/09_combinatorics/01_combinations.tex} +\input{parts/09_combinatorics/02_variations.tex} +% \input{parts/09_combinatorics/} + + +\newsectionNoPB +\section{Kombinatorik} +\input{parts/10_tips-and-tricks/00_phi-func-table.tex} +% \input{parts/10_tips-and-tricks/} \end{document}