eth-janishutz/eth-summaries
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Janis Hutz
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semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
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@@ -14,7 +14,7 @@ In gewissen Anwendungen sind Gauss-Quadratur-Formeln nützlich, welche man durch
\begin{definition}[]{Quadratur} \begin{definition}[]{Quadratur}
Ein Integral kann durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten der Funktion $f$ an verschiedenen Stellen $c_i^n$ approximiert werden: Ein Integral kann durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten der Funktion $f$ an verschiedenen Stellen $c_i^n$ approximiert werden:
\begin{align*} \begin{align*}
\int_{a}^{b} f(x) \dx \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n) \int_{a}^{b} f(x) \dx x \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
\end{align*} \end{align*}
wobei $\omega_i^n$ die \textit{Gewichte} und $c_i^n \in [a, b]$ die \textit{Knoten} der Quadraturformel sind. wobei $\omega_i^n$ die \textit{Gewichte} und $c_i^n \in [a, b]$ die \textit{Knoten} der Quadraturformel sind.
\end{definition} \end{definition}
@@ -23,7 +23,7 @@ Wir wollen natürlich wieder $c_i^n \in [a, b]$ und $w_i^n$ so wählen, dass der
\begin{definition}[]{Fehler} \begin{definition}[]{Fehler}
Der Fehler der Quadratur $Q_n(f)$ ist Der Fehler der Quadratur $Q_n(f)$ ist
\begin{align*} \begin{align*}
E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx - Q_n(f; a, b) \right| E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx x - Q_n(f; a, b) \right|
\end{align*} \end{align*}
Wir haben \bi{algebraische Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{\frac{1}{n^p}}$ mit $p > 0$ und Wir haben \bi{algebraische Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{\frac{1}{n^p}}$ mit $p > 0$ und
\bi{exponentielle Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{q^n}$ mit $0 \leq q < 1$ \bi{exponentielle Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{q^n}$ mit $0 \leq q < 1$
@@ -89,7 +89,7 @@ Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und di
Wir erhalten nun eine Quadraturformel, wenn wir $p$ als Approximation von $f$ verwenden: Wir erhalten nun eine Quadraturformel, wenn wir $p$ als Approximation von $f$ verwenden:
\rmvspace \rmvspace
\begin{align*} \begin{align*}
w_j = \int_{a}^{b} l_j(x), \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n w_j = \int_{a}^{b} l_j(x) \dx x, \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n
\end{align*} \end{align*}
\drmvspace \drmvspace
@@ -112,7 +112,7 @@ Wir nehmen ein äquidistantes Gitter, mit $x_k = x_0 + k \cdot h$ für $h = \fra
\int_{a}^{b} f(x) \dx x = \sum_{k = 0}^{N - 1} \int_{x_k}^{x_{k + 1}} f(x) \dx x \int_{a}^{b} f(x) \dx x = \sum_{k = 0}^{N - 1} \int_{x_k}^{x_{k + 1}} f(x) \dx x
\end{align*} \end{align*}
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Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der Fehler ist dann also: Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der Fehler ist dann also:
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\begin{align*} \begin{align*}

2
semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex
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@@ -27,5 +27,5 @@ Gewichte: $\frac{b - a}{6}, \frac{4(b - a)}{6}, \frac{b - a}{6}$
\inlineremark Die Schranken für den Fehler erhält man aus den Lagrange-Polynomen vom Grad $n - 1$: \inlineremark Die Schranken für den Fehler erhält man aus den Lagrange-Polynomen vom Grad $n - 1$:
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\begin{align*} \begin{align*}
f \in \C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])} f \in C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])}
\end{align*} \end{align*}