From a3686f964c7da7469e7e724f596c29d5bf306476 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Basil Feitknecht <114588139+bfeitknecht@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 18 Jan 2026 13:38:26 +0100
Subject: [PATCH 1/5] Fix typo in error bounds for quadrature method

---
 .../numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex
index 1968e1f..75b7cb9 100644
--- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex
+++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex
@@ -27,5 +27,5 @@ Gewichte: $\frac{b - a}{6}, \frac{4(b - a)}{6}, \frac{b - a}{6}$
 \inlineremark Die Schranken für den Fehler erhält man aus den Lagrange-Polynomen vom Grad $n - 1$:
 \rmvspace
 \begin{align*}
-    f \in \C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])}
+    f \in C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])}
 \end{align*}

From b824e1026943808b7b608ad22fc2f57d7cf99cfe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Basil Feitknecht <114588139+bfeitknecht@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 18 Jan 2026 14:14:15 +0100
Subject: [PATCH 2/5] Fix LaTeX: add missing variable x to \dx macro on line 91

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 .../numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex  | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
index 71bf1c3..8f20796 100644
--- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
+++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
@@ -14,7 +14,7 @@ In gewissen Anwendungen sind Gauss-Quadratur-Formeln nützlich, welche man durch
 \begin{definition}[]{Quadratur}
     Ein Integral kann durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten der Funktion $f$ an verschiedenen Stellen $c_i^n$ approximiert werden:
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) \dx \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
+        \int_{a}^{b} f(x) \dx x \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
     \end{align*}
     wobei $\omega_i^n$ die \textit{Gewichte} und $c_i^n \in [a, b]$ die \textit{Knoten} der Quadraturformel sind.
 \end{definition}
@@ -23,7 +23,7 @@ Wir wollen natürlich wieder $c_i^n \in [a, b]$ und $w_i^n$ so wählen, dass der
 \begin{definition}[]{Fehler}
     Der Fehler der Quadratur $Q_n(f)$ ist
     \begin{align*}
-        E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx - Q_n(f; a, b) \right|
+        E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx x - Q_n(f; a, b) \right|
     \end{align*}
     Wir haben \bi{algebraische Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{\frac{1}{n^p}}$ mit $p > 0$ und
     \bi{exponentielle Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{q^n}$ mit $0 \leq q < 1$
@@ -85,11 +85,11 @@ Das Interpolationspolynom ist gegeben durch:
 \end{align*}
 
 \drmvspace
-Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und die Konstruktion von $p(x)$ ist eindeutig in $\mathcal{P}_{n + 1}$.
+Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und die Konstruktion von $p(x)$ ist eindeutig in $\mathcal{P}_{n + 1}$. 
 Wir erhalten nun eine Quadraturformel, wenn wir $p$ als Approximation von $f$ verwenden:
 \rmvspace
 \begin{align*}
-    w_j = \int_{a}^{b} l_j(x), \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n
+    w_j = \int_{a}^{b} l_j(x) \dx x, \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n
 \end{align*}
 \drmvspace
 
@@ -112,7 +112,7 @@ Wir nehmen ein äquidistantes Gitter, mit $x_k = x_0 + k \cdot h$ für $h = \fra
     \int_{a}^{b} f(x) \dx x = \sum_{k = 0}^{N - 1} \int_{x_k}^{x_{k + 1}} f(x) \dx x
 \end{align*}
 
-\drmvspace
+\rmvspace
 Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der Fehler ist dann also:
 \rmvspace
 \begin{align*}
@@ -122,13 +122,13 @@ Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der F
 
 \rmvspace
 Der obige Ansatz ist gewissermassen ``divide and conquer'' (zu Deutsch: ``Teile und Herrsche'', wir werden aber DnC verwenden)
-und wir der lokale Fehler liegt in $\tco{h^{n + 1}}$ und mit $N = (b - a) \div h$ Intervallen der Grösse $h$ haben wir einen globalen Fehler in $\tco{h^n}$.
+und wir der lokale Fehler liegt in $\tco{h^{n + 1}}$ und mit $N = (b - a) \div h$ Intervallen der Grösse $h$ haben wir einen globalen Fehler in $\tco{h^n}$. 
 Folglich ist also der Fehler kleiner, je kleiner $h$ ist.
 
 Wir benutzen erneut einen Variablenwechsel, um von einem Referenzintervall $[-1, 1]$ auf eines unserer Teilintervalle $[x_k, x_{k + 1}]$ zu wechseln.
 Dies heisst also allgemein für Intervall $[a, b]$ nach $[-1, 1]$:
 \begin{align*}
-    \int_{a}^{b} f(t) \dx t = \frac{1}{2} (b - a) \int_{-1}^{1} \hat{f}(\tau) \dx \tau & \text{ mit } \hat{f}(\tau) := f\left( \frac{1}{2}(1 - \tau) a + \frac{1}{2}(\tau + 1) b \right)
+    \int_{a}^{b} f(t) \dx t = \frac{1}{2} (b - a) \int_{-1}^{1} \hat{f}(	au) \dx \tau & \text{ mit } \hat{f}(	au) := f\left( \frac{1}{2}(1 - \tau) a + \frac{1}{2}(	au + 1) b \right)
 \end{align*}
 Für dieses Referenzintervall können wir die Gewichte $\hat{w}_j$ und die Knoten $\hat{c}_j$ bestimmen.
 % OMG, wtf, why can't he decide on using w, \omega or \hat{w} for the weights in the reference interval? That is so dumb.

From 4345c5744f91a1a012742a21f0a9ee7cc00dcabe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Janis Hutz <98422316+janishutz@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 18 Jan 2026 13:45:34 +0000
Subject: [PATCH 3/5] Update 00_introduction.tex

Co-authored-by: Copilot <175728472+Copilot@users.noreply.github.com>
---
 semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
index 8f20796..4bcf514 100644
--- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
+++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
@@ -128,7 +128,7 @@ Folglich ist also der Fehler kleiner, je kleiner $h$ ist.
 Wir benutzen erneut einen Variablenwechsel, um von einem Referenzintervall $[-1, 1]$ auf eines unserer Teilintervalle $[x_k, x_{k + 1}]$ zu wechseln.
 Dies heisst also allgemein für Intervall $[a, b]$ nach $[-1, 1]$:
 \begin{align*}
-    \int_{a}^{b} f(t) \dx t = \frac{1}{2} (b - a) \int_{-1}^{1} \hat{f}(	au) \dx \tau & \text{ mit } \hat{f}(	au) := f\left( \frac{1}{2}(1 - \tau) a + \frac{1}{2}(	au + 1) b \right)
+    \int_{a}^{b} f(t) \dx t = \frac{1}{2} (b - a) \int_{-1}^{1} \hat{f}(\tau) \dx \tau & \text{ mit } \hat{f}(\tau) := f\left( \frac{1}{2}(1 - \tau) a + \frac{1}{2}(\tau + 1) b \right)
 \end{align*}
 Für dieses Referenzintervall können wir die Gewichte $\hat{w}_j$ und die Knoten $\hat{c}_j$ bestimmen.
 % OMG, wtf, why can't he decide on using w, \omega or \hat{w} for the weights in the reference interval? That is so dumb.

From b4ca0ead954f0df68e01012f12bb29142b266cc8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Basil Feitknecht <114588139+bfeitknecht@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 24 Jan 2026 12:39:39 +0100
Subject: [PATCH 4/5] Update
 semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex

Co-authored-by: Copilot <175728472+Copilot@users.noreply.github.com>
---
 semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
index 4bcf514..14ea5ff 100644
--- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
+++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
@@ -85,7 +85,7 @@ Das Interpolationspolynom ist gegeben durch:
 \end{align*}
 
 \drmvspace
-Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und die Konstruktion von $p(x)$ ist eindeutig in $\mathcal{P}_{n + 1}$. 
+Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und die Konstruktion von $p(x)$ ist eindeutig in $\mathcal{P}_{n + 1}$.
 Wir erhalten nun eine Quadraturformel, wenn wir $p$ als Approximation von $f$ verwenden:
 \rmvspace
 \begin{align*}

From c3947219422a20088a475f82bbbaaa4ecebf50af Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Basil Feitknecht <114588139+bfeitknecht@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 24 Jan 2026 12:40:11 +0100
Subject: [PATCH 5/5] Update
 semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex

Co-authored-by: Copilot <175728472+Copilot@users.noreply.github.com>
---
 semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
index 14ea5ff..d52c2cf 100644
--- a/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
+++ b/semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex
@@ -122,7 +122,7 @@ Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der F
 
 \rmvspace
 Der obige Ansatz ist gewissermassen ``divide and conquer'' (zu Deutsch: ``Teile und Herrsche'', wir werden aber DnC verwenden)
-und wir der lokale Fehler liegt in $\tco{h^{n + 1}}$ und mit $N = (b - a) \div h$ Intervallen der Grösse $h$ haben wir einen globalen Fehler in $\tco{h^n}$. 
+und wir der lokale Fehler liegt in $\tco{h^{n + 1}}$ und mit $N = (b - a) \div h$ Intervallen der Grösse $h$ haben wir einen globalen Fehler in $\tco{h^n}$.
 Folglich ist also der Fehler kleiner, je kleiner $h$ ist.
 
 Wir benutzen erneut einen Variablenwechsel, um von einem Referenzintervall $[-1, 1]$ auf eines unserer Teilintervalle $[x_k, x_{k + 1}]$ zu wechseln.