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semester3/numcs/parts/02_quadrature/00_introduction.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ In gewissen Anwendungen sind Gauss-Quadratur-Formeln nützlich, welche man durch
 \begin{definition}[]{Quadratur}
     Ein Integral kann durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten der Funktion $f$ an verschiedenen Stellen $c_i^n$ approximiert werden:
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) \dx \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
+        \int_{a}^{b} f(x) \dx x \approx Q_n(f; a, b) := \sum_{i = 1}^{n} \omega_i^n f(c_i^n)
     \end{align*}
     wobei $\omega_i^n$ die \textit{Gewichte} und $c_i^n \in [a, b]$ die \textit{Knoten} der Quadraturformel sind.
 \end{definition}
@@ -23,7 +23,7 @@ Wir wollen natürlich wieder $c_i^n \in [a, b]$ und $w_i^n$ so wählen, dass der
 \begin{definition}[]{Fehler}
     Der Fehler der Quadratur $Q_n(f)$ ist
     \begin{align*}
-        E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx - Q_n(f; a, b) \right|
+        E(n) = \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx x - Q_n(f; a, b) \right|
     \end{align*}
     Wir haben \bi{algebraische Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{\frac{1}{n^p}}$ mit $p > 0$ und
     \bi{exponentielle Konvergenz} wenn $E(n) = \tco{q^n}$ mit $0 \leq q < 1$
@@ -89,7 +89,7 @@ Durch die Eigenschaften der Lagrange-Polynome haben wir $p(x_j) = f(x_j)$ und di
 Wir erhalten nun eine Quadraturformel, wenn wir $p$ als Approximation von $f$ verwenden:
 \rmvspace
 \begin{align*}
-    w_j = \int_{a}^{b} l_j(x), \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n
+    w_j = \int_{a}^{b} l_j(x) \dx x, \smallhspace j = 0, 1, \ldots, n
 \end{align*}
 \drmvspace
 
@@ -112,7 +112,7 @@ Wir nehmen ein äquidistantes Gitter, mit $x_k = x_0 + k \cdot h$ für $h = \fra
     \int_{a}^{b} f(x) \dx x = \sum_{k = 0}^{N - 1} \int_{x_k}^{x_{k + 1}} f(x) \dx x
 \end{align*}
 
-\drmvspace
+\rmvspace
 Die obige Formel wird auch die \textit{summierte} Quadraturformel genannt. Der Fehler ist dann also:
 \rmvspace
 \begin{align*}

semester3/numcs/parts/02_quadrature/01_equidistant-nodes/00_intro.tex

@@ -27,5 +27,5 @@ Gewichte: $\frac{b - a}{6}, \frac{4(b - a)}{6}, \frac{b - a}{6}$
 \inlineremark Die Schranken für den Fehler erhält man aus den Lagrange-Polynomen vom Grad $n - 1$:
 \rmvspace
 \begin{align*}
-    f \in \C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])}
+    f \in C^n([a, b]) \Rightarrow \left| f(t) \dx t - Q_n(f) \right| \leq \frac{1}{n!} (b - a)^{n + 1} ||f^{(n)}||_{L^\infty([a, b])}
 \end{align*}