[TI] Finish turing machines section

semester3/ti/parts/03_turing_machines/01_multi-band-church-thesis.tex

@@ -25,9 +25,64 @@ Eine Konfiguration einer $k$-Band-TM $M$ ist $(q, w, i, u_1, i_1, u_2, i_2, \ldo
 wobei $q$ der Zustand ist, der Inhalt des Eingabebands ist $\cent w \$$, der Lesekopf zeigt auf das $i$-te Feld,
 für $j \in \{ 1, 2, \ldots, k \}$ ist der Inhalt des $j$-ten Bandes $\cent u_k \text{\textvisiblespace} \ldots$ und $i_j \leq |u_j|$ ist die Position des Feldes.
 
-Ein Berechnungsschritt von $M$ kann mit $\delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \cent, \$ \}) \times \Gamma^k \rightarrow Q \times \{ L, R, N \} \times (\Gamma \times \{ L, R, N \})^k$
-    dargestellt werden, wobei die Argumente $(q, a, b_1, \ldots, b_k)$ der aktuelle Zustand $q$, das gelesene Eingabesymbol $a$ und die $k$ Symbole $b_i \in \Gamma$,
+Ein Berechnungsschritt von $M$ kann mit
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    \delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \cent, \$ \}) \times \Gamma^k \rightarrow Q \times \{ L, R, N \} \times (\Gamma \times \{ L, R, N \})^k
+\end{align*}
+
+\drmvspace
+dargestellt werden, wobei die Argumente $(q, a, b_1, \ldots, b_k)$ der aktuelle Zustand $q$, das gelesene Eingabesymbol $a$ und die $k$ Symbole $b_i \in \Gamma$,
 auf welchen die Köpfe der Arbeitsbänder stehen.
 
 Die Eingabe $w$ wird von $M$ akzeptiert, falls $M$ den Zustand $\qacc$ erreicht und falls $M$ den Zustand $\qrej$ erreicht oder nicht terminiert, wird die Eingabe verworfen.
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+
+\vspace{0.3cm}
+\hrule
+\vspace{0.2cm}
+
+Wir sagen, dass eine Maschine $A$ äquivalent zu einer Maschine $B$ ist, falls für jede Eingabe $x \in \wordbool$ gilt:
+$A \text{ $<$property$>$ } x \Longleftrightarrow B \text{ $<$property$>$ } x$ mit
+$<$property$> \ \in \{ \text{akzeptiert}, \text{ verwrift}, \text{ arbeitet unendlich lange auf} \}$, also ist $L(A) = L(B)$
+
+\inlinelemma Zu jeder TM $A$ existiert eine zu $A$ äquivalente $1$-Band-TM $B$
+
+\inlinelemma Zu jeder Mehrband-Turingmaschine $A$ existiert eine zu $A$ äquivalente TM $B$
+
+Die Beweise dazu finden sich auf Seite 107, beziehungsweise Seite 109 (= 121 \& 123 im PDF).
+
+In diesem Kurs müssen wir glücklicherweise meist nicht Beweise der Äquivalenz durchführen, wie auch nicht dass die TM die gewünschte Tätigkeit realisiert.
+
+\inlinedef Zwei Maschinenmodelle (Maschinenklassen) $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ sind äquivalent wenn beides zutrifft:
+\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \item für jede Maschine $A \in \mathcal{A}$ eine zu $A$ äquivalente Maschine $B \in \mathcal{B}$ existiert
+    \item für jede Maschine $C \in \mathcal{B}$ eine zu $C$ äquivalente Maschine $D \in \mathcal{A}$ existiert
+\end{enumerate}
+
+\inlinetheorem Die Maschinenmodelle von Turingmaschinen und Mehrband-Turingmaschinen sind äquivalent
+
+\inlineproof Impliziert von Lemmas \ref{lemma:4-1} und \ref{lemma:4-2}
+
+Um zu beweisen, dass Turing-Maschinen äquivalent zu höheren Programmiersprachen sind argumentiert man über die Existenz eines Interpreters für TM.
+
+
+% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
+\subsubsection{Church'sche These}
+\begin{center}
+    \fbox{
+        \parbox{16cm}{
+            \textit{Die Turingmaschinen sind die Formalisierung des Begriffes ``Algorithmus'', das heisst,
+                die Klasse der rekursiven Sprachen (der entscheidbaren Entscheidungsproblem)
+                stimmt mit der Klasse der algorithmisch (automatisch) erkennbaren Sprache überein
+            }
+        }
+    }
+\end{center}
+Die These ist nicht beweisbar, da dazu der Begriff des Algorithmus formalisiert werden müsste, was er bekanntlich nicht ist.
+
+Dies führt zu einer interessanten Situation, in welcher es \textit{theoretisch} möglich wäre, dass jemand ein stärkeres Modell findet, als die TM sind,
+eines nämlich, welches Entscheidungsprobleme lösen kann, die die TM nicht kann.
+
+Wir nehmen also (wie in vielen Bereichen der Physik (die Relativitätstheorie ist ein gutes Beispiel) und Mathematik) und postulieren sie als Axiom.
+
+\shade{Orange}{Fun fact} Die Church'sche These ist das einzige informatikspezifische Axiom.

semester3/ti/parts/03_turing_machines/02_non-deterministic.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\newpage
+\subsection{Nichtdeterministische Turingmaschinen}
+Die Ideen sind hier sehr ähnlich wie der Übergang zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Endlichen Automaten.
+
+\begin{definition}[]{Nichtdeterministische Turingmaschine (NTM)}
+    \begin{scriptsize}
+        Hier werden nur die wichtigsten Unterschiede aufgezeigt. Formale Definition auf Seiten 113ff. (= Seiten 127ff im PDF) im Buch.
+    \end{scriptsize}
+
+    Die Übergangsfunktion geht wieder in die Potenzmenge, also gilt:
+    \rmvspace
+    \begin{align*}
+        \delta : (Q - \{ \qacc, \qrej \}) \times \Gamma \rightarrow \mathcal{P}(Q \times \Gamma \times \{ L, R, N \}
+    \end{align*}
+
+    \rmvspace
+    und $\delta(p, \cent) \subseteq (\{ (q, \cent, X) \divides q \in Q, X \in \{R, N\} \})$\\
+
+    Die von der NTM $M$ akzeptierte Sprache ist:
+    \rmvspace
+    \begin{align*}
+        L(M) = \{ w \in \word \divides q_0\cent w \bigvdash{M}{*}y\qacc z \text{ für irgendwelche } y, z \in \Gamma^* \}
+    \end{align*}
+\end{definition}
+Ein gutes Beispiel für eine NTM findet sich auf Seiten 114ff. im Buch (= Seite 128ff. im PDF)
+
+
+\begin{definition}[]{Berechnungsbaum}
+    Ein Berechnungsbaum $T_{M, x}$ von $M$ (eine NTM) auf $x$ (Wort aus Eingabealphabet von $M$) ist ein (potentiell un)gerichteter Baum mit einer Wurzel:
+    \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
+        \item Jeder Knoten von $T_{M, x}$ ist mit einer Konfiguration beschriftet
+        \item Die Wurzel ist der einzige Knoten mit $\deg_{\text{in}}(v) = 0$, ist die Startkonfiguration $q_0\cent x$
+        \item Jeder mit $C$ beschriftete Knoten hat genauso viele Kinder wie $C$ Nachfolgekonfigurationen hat und die Kinder sind mit diesen Nachfolgekonfigurationen markiert.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+Diese Bäume können natürlich auch für nichtdeterministischen MTM verwendet werden.
+
+Im Vergleich zu den Berechnungsbäumen von NEA sind die Bäume von NTM nicht immer endlich.
+
+\inlinetheorem Sei $M$ eine NTM. Dann existiert eine TM $A$, so dass $L(M) = L(A)$ 
+und falls $M$ keine unendlichen Berechnungen auf Wörtern aus $(L(M))^C$ hat, dann hält $A$ immer.
+
+\inlineproof Auf Seite 117 im Buch (= 131 im PDF). Die Idee zur Umwandlung von $M$ in die TM $A$ ist, dass $A$ Breitensuche im Berechnungsbaum von $M$ durchführt.