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[PS] Updated marginal distribution tips & tricks
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@@ -3,7 +3,11 @@
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\shortdefinition[Stetig verteilte Z.V] $\cX$ stetig, falls $\exists f_\cX : \R \rightarrow \R_+$, s.d. V.F. $F_\cX(x) = \int_{-\8}^{x} f_\cX(t) \dx t$.
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$f_\cX$ ist Dichte (pdf) v. $\cX$
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\shorttheorem Sei $F_\cX$ st. stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < \ldots < x_n = \8$.
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Falls Z.V. Sprungstelle hat, \bi{weder stetig noch diskret}.
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\shortremark $\P[\cX = n] \approx 0$; $\P[m \leq \cX \leq n] = \int_{m}^{n} f_\cX(x) \dx x$
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\shorttheorem $F_\cX$ stetig stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < \ldots < x_n = \8$.
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Dann $\cX$ stetig, mit $a_k$ beliebig und
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\[
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f_\cX = \begin{cases}
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@@ -11,7 +11,6 @@ $\Phi = \int_{-\8}^{x} \varphi(t) \dx t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\8}^{x} e
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F_\cX(x) = \P[\cX \leq x] = \P\left[ \frac{\cX - \mu}{\sigma} \leq \frac{x - \mu}{\sigma} \right] = \Phi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)
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\]
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\newpage
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\shortexample für Phänomene modellierbar mit Normalverteilung:
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\begin{itemize}
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\item Streuung von Messwerten um Mittelwert
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@@ -14,7 +14,8 @@ $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$
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\shortremark $\E[\cX] < \8$, dann $\V[\cX] \geq 0$ mit $=$ g.d.w. $\cX$ konst; \hl{zudem} $\V[a \cX] = a^2 \V[\cX]$ und $\V[\cX + a] = \V[\cX]$
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\shortproposition $\cX_k$ paarw. unabh. $\V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX_k]$.
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Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$
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Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$.
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Falls \bi{mermals} selbe Z.V. (e.g. $\cX - \cY - \cY$, ist $\cX - 2\cY$, dann $\V = 2^2 \V[\cY]$)
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\newpage
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\shortexample Varianz von bekannten Verteilungen
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@@ -46,12 +46,6 @@ Die Dichten der Randverteilungen sind:
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\qquad
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f_\cY(y) = \int_{-\8}^{\8} f(x, y) \dx x
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\]
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Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
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\begin{align*}
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f_\cX(x) & = \diff{x} F_\cX(x) = \diff{x}\left( \int_{-\8}^{x} \int_{-\8}^{\8} f(s, t) \dx t \dx s \right) \\
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& =\int_{-\8}^{\8} f(x, t) \dx t
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\end{align*}
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{\scriptsize (Hier wieder Umwandlung von Summe zu Integral von Diskret zu Stetig)}
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\shortexample Randdichten mit Gleichverteilung\\
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\bi{Einheitsquadrat} {\scriptsize ($f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]}$)}
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@@ -67,18 +61,12 @@ Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
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f_\cY(y) \! = \! \int_{-\8}^{\8} \frac{1}{\pi} 1_{x^2 \leq 1 - y^2} \dx x \! = \! \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} \frac{1}{\pi} \dx x \! = \! \frac{2}{\pi} \sqrt{1 - y^2}
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\end{align*}
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\shorttheorem[Unabhängigkeit] $\cX_i$ mit Dichten $f_{\cX_i}$, dann ist äquiv.:
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\begin{itemize}
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\item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind unabhängig
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\item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind gem. stetig mit gem. Dichte (Prod. Randdichten):
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$f(x_1, \ldots, x_n) = f_{\cX_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot f_{\cX_n}(x_n)$
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\end{itemize}
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\shorttheorem[Unabhängigkeit] $\cX_i$ unabhängig g.d.w.
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\[
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f_{\cX_1, \ldots, \cX_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{\cX_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot f_{\cX_n}(x_n)
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\]
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\shortexample Unabhängigkeit bei Gleichverteilungen\\
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\bi{Einheitsquadrat} Wieder $f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2}$, dann:
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\[
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f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]} = f_\cX(x) f_\cY(y)
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\]
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Folglich sind die beiden Koordinaten unabhängig.
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\bi{Einheitsquadrat} Koordinaten sind unabhängig
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\bi{Einheitskreisscheibe} $f(x, y) \neq f_\cX(x) f_\cY(y)$, mit Dichten von oben. Also sind die beiden Koordinaten nicht unabh.
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\bi{Einheitskreisscheibe} Koordinaten nicht unabhängig
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@@ -1,21 +1,12 @@
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\subsection{Tips \& Tricks}
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\coloredbox{red}{REWRITE}{
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This section is going to be completely rewritten
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}
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\shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden.
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Zur Bestimmung von W. wie (mit $\cX, \cY \sim \cU(0, 1)$)
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\[
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W(t) = \P[\cX + \cY \leq t] \ \forall t \in \R
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\]
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können wir dies via gemeinsamer Dichte ($f_{\cX, \cY}(x, y) = 1$ muss gegeben sein) und Menge
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\[
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A_t = \{ (x, y) \in [0, 1]^2 : x + y \leq t \}
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\]
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bestimmen. Dann ist für $t < 0$, $W(t) = 0$.
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\coloredbox{gray}{HOW-TO: Randdichten berechnen}{
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\begin{enumerate}
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\item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$
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\item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
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\item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
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\end{enumerate}
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}
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Für $0 \leq t \leq 1$ ist $A_t$ ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge $t$, also $W(t) = t^2 \div 2$.
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Für $1 < t \leq 2$ ist $A_t$ Einheitsquadrat ohne rechtw. Dreieck mit Katheten der Länge $(2 - t)$, also $W(t) = 1 - \frac{(2 - t)^2}{2}$.
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Für $t > 2$ ist $W(t) = 1$.
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Die Randdiochten sind dann die Dichten von $\cX$, etc; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.
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@@ -1,6 +1,7 @@
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\newpage
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\subsection{Tabelle von Auf- und Ableitungen}
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Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummieren.
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Für ungerade Funktionen (mit $f(-x) = -f(x)$, bspw $f(x) = x$ und $f(x) = \cos(x)$) ist Integral $\int_{-C}^C f(x) \dx x = 0$, auch bei Multiplikation von mehreren Funktionen.
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\begin{scriptsize}
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\begin{tables}{lll}{\tr{Antiderivative}{Stammfunktion} & \tr{Function}{Funktion} & \tr{Derivative}{Ableitung}}
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$\displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ & $x^n$ & $n \cdot x^{n - 1}$ \\
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@@ -21,28 +22,26 @@ Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummi
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$x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}$ & $\arcsin(x)$ & $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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$x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2}$ & $\arccos(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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$\displaystyle x \cdot \arctan(x) - \frac{\ln(x^2 + 1)}{2}$ & $\arctan(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{x^2 + 1}$ \\[0.2cm]
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$\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\
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$\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\
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$\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ \\
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$\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\
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||||
& $\arcsinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ \\
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||||
& $\arccosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ \\
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& $\arctanh(x)$ & $\frac{1}{1 - x^2}$ \\
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% $\ln|\sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $\displaystyle -\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\
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% $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\
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% $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ \\
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% $\ln|\cosh(x)|$ & $\tanh(x)$ & $\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\
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% & $\arcsinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ \\
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% & $\arccosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ \\
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% & $\arctanh(x)$ & $\frac{1}{1 - x^2}$ \\
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\end{tables}
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\end{scriptsize}
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\shade{teal}{Weitere Ableitungen}
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\begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
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$\frac{1}{a} \ln|ax + b|$ & $\frac{1}{ax + b}$ \\
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$\frac{ax}{c} - \frac{ad - bc}{c^2} \ln|cx + d|$ & $\frac{a (cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$ \\
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$\frac{x}{2} f(x) + \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{a^2 + x^2}$ \\
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$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \arcsin\left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\sqrt{a^2 - x^2}$ \\
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||||
$\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2 - a^2}$ \\
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$\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ \\
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||||
$\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ \\
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$\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$ \\
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\end{tables}
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% \shade{teal}{Weitere Ableitungen}
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% \begin{tables}{cc}{$F(x)$ & $f(x)$}
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% $\frac{1}{a} \ln|ax + b|$ & $\frac{1}{ax + b}$ \\
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% $\frac{ax}{c} - \frac{ad - bc}{c^2} \ln|cx + d|$ & $\frac{a (cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$ \\
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||||
% $\frac{x}{2} f(x) + \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{a^2 + x^2}$ \\
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% $\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \arcsin\left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\sqrt{a^2 - x^2}$ \\
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% $\frac{x}{2} f(x) - \frac{a^2}{2} \ln|x + f(x)|$ & $\sqrt{x^2 - a^2}$ \\
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% $\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ \\
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% $\arcsin \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ \\
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% $\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{|a|} \right)$ & $\frac{1}{a^2 - x^2}$ \\
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% $-\frac{1}{a} \cos(ax + b)$ & $\sin(ax + b)$ \\
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% $\frac{1}{a} \sin(ax + b)$ & $\cos(ax + b)$ \\[1mm]
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% \hline
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