[PS] Updated marginal distribution tips & tricks

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/01_continuous.tex

@@ -46,12 +46,6 @@ Die Dichten der Randverteilungen sind:
     \qquad
     f_\cY(y) = \int_{-\8}^{\8} f(x, y) \dx x
 \]
-Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
-\begin{align*}
-    f_\cX(x) & = \diff{x} F_\cX(x) = \diff{x}\left( \int_{-\8}^{x} \int_{-\8}^{\8} f(s, t) \dx t \dx s \right) \\
-             & =\int_{-\8}^{\8} f(x, t) \dx t
-\end{align*}
-{\scriptsize (Hier wieder Umwandlung von Summe zu Integral von Diskret zu Stetig)}
 
 \shortexample Randdichten mit Gleichverteilung\\
 \bi{Einheitsquadrat} {\scriptsize ($f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]}$)}
@@ -67,18 +61,12 @@ Herleitung der Randdichte (``wegintegrieren''):
     f_\cY(y) \! = \! \int_{-\8}^{\8} \frac{1}{\pi} 1_{x^2 \leq 1 - y^2} \dx x \! = \! \int_{-\sqrt{1 - y^2}}^{\sqrt{1 - y^2}} \frac{1}{\pi} \dx x \! = \! \frac{2}{\pi} \sqrt{1 - y^2}
 \end{align*}
 
-\shorttheorem[Unabhängigkeit] $\cX_i$ mit Dichten $f_{\cX_i}$, dann ist äquiv.:
-\begin{itemize}
-    \item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind unabhängig
-    \item $\cX_1, \ldots, \cX_n$ sind gem. stetig mit gem. Dichte (Prod. Randdichten):
-          $f(x_1, \ldots, x_n) = f_{\cX_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot f_{\cX_n}(x_n)$
-\end{itemize}
+\shorttheorem[Unabhängigkeit] $\cX_i$ unabhängig g.d.w.
+\[
+    f_{\cX_1, \ldots, \cX_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{\cX_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot f_{\cX_n}(x_n)
+\]
 
 \shortexample Unabhängigkeit bei Gleichverteilungen\\
-\bi{Einheitsquadrat} Wieder $f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2}$, dann:
-\[
-    f(x, y) = 1_{(x, y) \in [0, 1]^2} = 1_{x \in [0, 1]} 1_{y \in [0, 1]} = f_\cX(x) f_\cY(y)
-\]
-Folglich sind die beiden Koordinaten unabhängig.
+\bi{Einheitsquadrat} Koordinaten sind unabhängig
 
-\bi{Einheitskreisscheibe} $f(x, y) \neq f_\cX(x) f_\cY(y)$, mit Dichten von oben. Also sind die beiden Koordinaten nicht unabh.
+\bi{Einheitskreisscheibe} Koordinaten nicht unabhängig

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -1,21 +1,12 @@
 \subsection{Tips \& Tricks}
-\coloredbox{red}{REWRITE}{
-    This section is going to be completely rewritten
-}
 \shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden.
 
-Zur Bestimmung von W. wie (mit $\cX, \cY \sim \cU(0, 1)$)
-\[
-    W(t) = \P[\cX + \cY \leq t] \ \forall t \in \R
-\]
-können wir dies via gemeinsamer Dichte ($f_{\cX, \cY}(x, y) = 1$ muss gegeben sein) und Menge
-\[
-    A_t = \{ (x, y) \in [0, 1]^2 : x + y \leq t \}
-\]
-bestimmen. Dann ist für $t < 0$, $W(t) = 0$.
+\coloredbox{gray}{HOW-TO: Randdichten berechnen}{
+    \begin{enumerate}
+        \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$
+        \item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
+        \item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
+    \end{enumerate}
+}
 
-Für $0 \leq t \leq 1$ ist $A_t$ ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge $t$, also $W(t) = t^2 \div 2$.
-
-Für $1 < t \leq 2$ ist $A_t$ Einheitsquadrat ohne rechtw. Dreieck mit Katheten der Länge $(2 - t)$, also $W(t) = 1 - \frac{(2 - t)^2}{2}$.
-
-Für $t > 2$ ist $W(t) = 1$.
+Die Randdiochten sind dann die Dichten von $\cX$, etc; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.