[PS] More detailed descriptions

semester4/ps/ps-jh/parts/03_expected-value/05_variance.tex

@@ -15,7 +15,8 @@ $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$
 Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$.
 Falls \bi{mermals} selbe Z.V. (e.g. $\cX - \cY - \cY$, ist $\cX - 2\cY$, dann $\V = \V[\cX] + 2^2 \V[\cY]$)
 
-\newpage
+\shortremark Für Varianz von bspw. $Y = \sum_{i = 1}^{n} \cX_i$, $\cX_i$ i.i.d: Unabh. nutzen (s. oben), dann ist Berechnung einfach
+
 \shortexample Varianz von bekannten Verteilungen
 \begin{itemize}
     \item $\cX \sim \text{Ber}(p)$, $\V[\cX] = p (1 - p)$

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -7,6 +7,7 @@ Dies ist besonders nützlich für die Berechnung von bedingten Dichten, etc. und
         \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$ in den Integral-grenzen
         \item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
         \item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
+        \item Übrig bleibende Indikatorvariablen wieder anfügen
     \end{enumerate}
 }
 
@@ -48,4 +49,7 @@ Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen
     Für unbekannte gemeinsame Dichte, die Eigenschaften ausfächern, Unabhängigkeit, etc ausnutzen.
 
     \bi{Für W. im Exponent}, dies beschreibt typ. Repetitionen, also über die Anzahl und W. nachdenken.
+    Beispielsweise für $\E[\left( \frac{5}{6} \right)^{\cX - 2} = k]$ berechnen wir $\P[\cX = k] = \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}$,
+    dann ist $\E[\ldots] = \sum_{k = 1}^{\8} \left( \frac{5}{6} \right)^{k - 2} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}
+        = \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{5}{36} \right)^{k - 1}$
 }

semester4/ps/ps-jh/parts/05_limit-theorems/03_central-limit-theorem.tex

@@ -28,3 +28,7 @@ $\P[a < S_n \leq b] \approx \Phi \left( \frac{b + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 -
 \shortremark Für Bestimmung von $\P[S_n \leq y]$, ZGS direkt verwenden, dann die Ungleichung in gewünschte Form umformen und $\E[\cX_i]$ und $\V[\cX_i]$ berechnen und einsetzen.
 
 \shortremark Im Allgemeinen für ZGS, gegebenen Ausdruck umformen, und allfällig Werte bestimmen.
+\hl{WICHTIG}: Muss genau in dieser Form sein.
+
+\shortexample $\limni \P\left[ \frac{S_n}{\sqrt{n}} > 1 \right]$ mit $S_n$ wie oben, $\E[S_n] = 0$, dann berechnen $1 - \P[ \frac{S_n}{\sqrt{n} \sigma} \leq \frac{1}{\sigma} ]$,
+durch Umformung der Ungl.

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -29,6 +29,9 @@ Da oft $X_k$ i.i.d mit individueller Gew. $p_\cX(x; \vartheta)$ bzw. Dichte $f_\
 {\scriptsize Wir suchen besten $t_{TM}$, durch geschickte Wahl von $\vartheta$}\\
 Meistens sind $\cX_k$ i.i.d. unter $\P_\vartheta$, dann $L$ produkt, also besser $\log(L)$ maximieren (da Summe).
 
+\shortdefinition[Momentschätzer (MM)] $T_{MM}^k = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i^k$,
+und die Lösung ist definiert als $T_{MM}^k = \E[\cX^k]$. Für die Normalverteilung wird das Erste und Zweite Moment geschätzt.
+
 % ────────────────────────────────────────────────────────────────────
 
 \howto{Finden von ML-Schätzern}{

semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/01_various.tex

@@ -53,5 +53,13 @@ $\cosh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} : \R
 
 
 \subsubsection{Reihen}
-\label{sec:series}
 $\prod_{k = 1}^{n} \vartheta (1 - \vartheta)^{x_k - 1} = \vartheta^n (1 - \vartheta)^{S - n}$ mit $S = \sum_{k = 1}^{n} x_k$
+
+$\sum_{k = 1}^n k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$; $\sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6}$;
+
+$\sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \right)^2$;
+$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$
+
+Arithmetic series: $s_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)}{2}$, mit $d$ Differenz
+
+Geometric series: $s_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$, mit $q$ Quotient