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\subsection{Tips \& Tricks}
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\shortremark Die \bi{Dichten} können anstelle der Variablen in bspw. der Formel für bedingte W. verwendet werden!
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Dies ist besonders nützlich für die Berechnung von bedingten Dichten, etc. und Bestimmung Unabhängigkeit
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\howto{Randdichten berechnen}{
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\begin{enumerate}
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\item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$ in den Integral-grenzen
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\item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
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\item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
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\item Übrig bleibende Indikatorvariablen wieder anfügen
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\end{enumerate}
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}
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Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.
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\howto{$cond$ auflösen}{
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In dem Integral sollte jeweils der äussere Integral der sein, für welchen wir volle Information haben.
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Zudem, bspw., für $0 \leq x \leq y^2 \leq 1$, wissen wir zwar für $x$ und $y$ die Grenzen, wählen aber $x$ als inneren Integral,
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weil sich oft $\int_0^{y^2}$ schöner auflöst. Der äussere Integral ist dann auf dem ganzen Intervall (also äussere Beschränkungen).
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Für einen einzelnen Integral wählen wir die Grenzen als die umliegenden Grenzen. Falls wir nur eine haben so müssen wir auflösen oder eine Grenze hinzufügen,
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siehe Randdichten von bspw. Einheitskreisscheibe.
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}
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\howto{Gemeinsame Dichten finden}{
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Nach Definition muss $f$ die Ableitung von $F$ sein.
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Oder umgekehrt, $\int f \dx \ldots$ sollte $F$ ergeben. Beispiel:
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$T \sim \cU[1, 2], \cX \sim \text{Exp}(\lambda), \cY \sim \text{Exp}(\gamma)$. Dann $f_{T, X, Y}(t, x, y) = \begin{cases}
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\lambda \gamma \exp(-\lambda x - \gamma y) & \text{falls } 1 \leq t \leq 2 \land x, y \geq 0 \\
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0 & \text{sonst}
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\end{cases}$
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}
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\howto{Verteilungen / Dichten finden}{
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Wir suchen $\P[\cZ \leq a]$ (ausser für gem. V, dann s. oben).
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Dann überlegen, wie $\cZ \leq a$ erfüllt werden kann. Beispiel:
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$Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \lor \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
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Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen oder Indikatorvariablen.
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Zudem kann Verteilung der einzelnen Variablen (und v.a. Unabhängigkeit) nützlich werden.
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Falls Dichte, dann Verteilung ableiten.
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\howto{Multi-Variable Wahrscheinlichkeiten}{
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\bi{Für W. wie} $\P[\cX \leq \cY^3]$ übersetzen wir dies in Integral $\int_B f(x, y) \dx x \dx y$ mit $B = \{(x, y) \divider x \leq y^3 \}$, dann für $y \in [0, 1]$ gilt:
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$\int_0^1 \int_{0}^{y^3} f(x, y) \dx x \dx y$, wobei hier die untere Grenze durch gegebenes $x \geq 0$ entsteht.
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Für unbekannte gemeinsame Dichte, die Eigenschaften ausfächern, Unabhängigkeit, etc ausnutzen.
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\bi{Für W. im Exponent}, dies beschreibt typ. Repetitionen, also über die Anzahl und W. nachdenken.
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Beispielsweise für $\E[\left( \frac{5}{6} \right)^{\cX - 2} = k]$ berechnen wir $\P[\cX = k] = \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}$,
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dann ist $\E[\ldots] = \sum_{k = 1}^{\8} \left( \frac{5}{6} \right)^{k - 2} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{k - 1} \cdot \frac{5}{6}
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= \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{5}{36} \right)^{k - 1}$
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}
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