eth-janishutz/eth-summaries
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Janis Hutz
2026-01-09 10:06:10 +01:00
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commit 50cb1d514c
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BIN
semester3/numcs/numcs-summary.pdf
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2
semester3/numcs/parts/04_linalg/03_svd.tex
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@@ -81,3 +81,5 @@ scores = A.T @ U_p # Projection of the data
\item Zu niedriges $\varepsilon$ kann zu Informationsverlust führen \item Zu niedriges $\varepsilon$ kann zu Informationsverlust führen
\item Zu hohes $\varepsilon$ (e.g. $\varepsilon = 0.99$) kann zu overfitting führen \item Zu hohes $\varepsilon$ (e.g. $\varepsilon = 0.99$) kann zu overfitting führen
\end{itemize} \end{itemize}
% TODO: Frobenius norm, Theorem 7.1.50

2
semester3/numcs/parts/05_curve-fitting/01_linear/01_normal-equations.tex
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@@ -1,6 +1,6 @@
\subsubsection{Normalengleichung} \subsubsection{Normalengleichung}
\setLabelNumber{all}{9} \setLabelNumber{all}{9}
\fancydef{Normalengleichung} $A^H Ax = A^H$ \fancydef{Normalengleichung} $A^H Ax = A^H b$
\inlineremark $A^H A$ ist Hermite-Symmetrisch, und falls $A$ vollen Rank hat, dannn ist $A^H A$ positiv-definit und die Normalengleichung hat eine eindeutige Lösung. \inlineremark $A^H A$ ist Hermite-Symmetrisch, und falls $A$ vollen Rank hat, dannn ist $A^H A$ positiv-definit und die Normalengleichung hat eine eindeutige Lösung.
Jedoch ist die Normalengleichung schlecht konditioniert (es gilt: $\cond(A^H A) = \cond(A)^2$). Jedoch ist die Normalengleichung schlecht konditioniert (es gilt: $\cond(A^H A) = \cond(A)^2$).

4
semester3/numcs/parts/05_curve-fitting/01_linear/02_orthogonal-transforms.tex
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@@ -2,11 +2,11 @@
Nicht nur die Normalengleichungen, aber auch das LU-Verfahren kann für gewisse Matrizen (im Falle von LU sind es Matrizen mit $m > n$) ungeeignet sein. Nicht nur die Normalengleichungen, aber auch das LU-Verfahren kann für gewisse Matrizen (im Falle von LU sind es Matrizen mit $m > n$) ungeeignet sein.
Wir versuchen wieder $||r||_2^2$ zu minimieren, mit $r = Ax - b$. Wir versuchen wieder $||r||_2^2$ zu minimieren, mit $r = Ax - b$.
Mithilfe der $QR$-Zerlegung lässt sich ein Lösungsansatz herleiten, der höhere numerische Stabilität aufweist, als die Normalengleichungen. Mithilfe der $QR$-Zerlegung lässt sich ein Lösungsansatz herleiten, der höhere numerische Stabilität aufweist als die Normalengleichungen.
Sei $A = QR = Q \begin{bmatrix} Sei $A = QR = Q \begin{bmatrix}
\tilde{R} \\ 0 \tilde{R} \\ 0
\end{bmatrix}$. \end{bmatrix}$.
Dann, nach Umformungen erhalten wir $||Rx - \tilde{b}||_2^2$ mit $\tilde{b} = Q^Hb$. Dann, nach Umformungen, erhalten wir $||Rx - \tilde{b}||_2^2$ mit $\tilde{b} = Q^Hb$.
Nutzt man beispielsweise Housholder-Spiegelungen zur Berechnung der $QR$-Zerlegung, so kann man die Transformationen direkt auf $b$ anwenden Nutzt man beispielsweise Housholder-Spiegelungen zur Berechnung der $QR$-Zerlegung, so kann man die Transformationen direkt auf $b$ anwenden
und so kann man sich das Abspeichern der Matrix $Q$ komplett sparen. und so kann man sich das Abspeichern der Matrix $Q$ komplett sparen.