[PS] Analysis stuff, fixes

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -3,10 +3,10 @@
 
 \coloredbox{gray}{HOW-TO: Randdichten berechnen}{
     \begin{enumerate}
-        \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$
+        \item Intervalle zur Integration für Randdichten via Indikatorvariable $\bm{1}_{cond}$ bestimmen. $\bm{1}_x$ verschwindet bei Bestimmung von $f_\cY$ in den Integral-grenzen
         \item $cond$ nach entsprechender Var. auflösen, wenn nötig
         \item Bei Integration Indikatorvariable als konstante betrachten (muss auch integriert werden!)
     \end{enumerate}
 }
 
-Die Randdiochten sind dann die Dichten von $\cX$, etc; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.
+Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.

semester4/ps/ps-jh/parts/06_estimators/02_max-likelihood.tex

@@ -78,6 +78,12 @@ $\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. und $\vartheta = (\mu, \sigma^2) = (\mu,
 \[
     l(\vartheta) = -\frac{1}{2} n(\log(2 \pi) + \log(v)) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(x_k - \mu)^2}{2v}
 \]
+
+\[
+    \partial_{\mu} l = 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{x_k - \mu}{2 v}
+    \quad
+    \partial_v l = -\frac{n}{2v} + 2v^{-2}\sum_{k = 1}^{n} (x_k - \mu)^2
+\]
 Der \bi{Momentschätzer} ist $T = (T_1, T_2) = (E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$:
 \[
     T_1 = \overline{\cX}_n \qquad

semester4/ps/ps-jh/parts/10_tips-and-tricks/02_diff-table.tex

@@ -2,6 +2,25 @@
 \subsection{Tabelle von Auf- und Ableitungen}
 Für Integrale von stückweisen Funktionen, stückweise Integrieren und aufsummieren.
 Für ungerade Funktionen (mit $f(-x) = -f(x)$, bspw $f(x) = x$ und $f(x) = \cos(x)$) ist Integral $\int_{-C}^C f(x) \dx x = 0$, auch bei Multiplikation von mehreren Funktionen.
+
+\shortremark[Integration by parts]
+\[
+    \int_{a}^{b} f(x) g'(x) \dx x = \left[f(x) g(x)\right]^b_a - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \dx x
+\]
+$f(x)$ einfach ableitbar, $g'(x)$ einfach aufleitbar wählen.
+
+\shortremark[Integration by substitution]
+\[
+    \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \dx t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi((b))} f(x) \dx x
+\]
+dabei die innere Funktion gut wählen, ableiten und zurück substituieren. Grenzen des Integrals anpassen!
+
+\shortremark[Multiplication rule] $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
+
+\shortremark[Quotient rule] $\displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
+
+
+
 \begin{scriptsize}
     \begin{tables}{lll}{\tr{Antiderivative}{Stammfunktion}                    & \tr{Function}{Funktion}                       & \tr{Derivative}{Ableitung}}
               $\displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$                     & $x^n$                                         & $n \cdot x^{n - 1}$                        \\