[PS] Intro: Probably (lol) catch up

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex

@@ -15,5 +15,18 @@
 \shorttheorem[Union Bound] Für $A_1, A_2, \ldots$ (mögl. disj.) gilt:
 $\P\left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$.
 Auch für endl. n.-leere Ereignisse
+\stepLabelNumber{combined}
+
 
 \subsubsection{Anwendungen der Ungleichungen}
+Sie sind nützlich für schwer zu berechnende W.
+
+\shorttheorem $(A_n)$ mit $A_n \subseteq A_{n + 1}$ (mon. wachsend). Dann:
+
+{\centering $\limni P[A_n] = \P\left[ \bigcup_{n = 1}^\8 A_n \right]$\\}
+
+und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt:\\
+$\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 \right]$
+
+\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und\\
+$\P[B_n] \geq \P[B_{n + 1}]$. Grenzwerte oben wohldefiniert.

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/04_conditional-probability.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
+\shortdefinition Für $(\Omega, \cF, \P)$ mit $A, B \in \cP(\Omega)$ mit $\P[B] > 0$:
+\[
+    \P[A | B] = \frac{\P[A \cap B]}{\P[B]}
+\]
+\shortremark $\P[B | B] = 1$
+
+\shorttheorem $B \in \cP(\Omega)$, dann ist $\P[ \cdot | B]$ ein W-Mass auf $\Omega$
+
+\shorttheorem[Totale W.] $\Omega = B_1 \cup \dots \cup B_n$ mit $B_i$s eine Partition von $\Omega$, mit $B_i$ paarw. disj. und $\P[B_i] > 0\; \forall 1 \leq i \leq n$. Dann:
+\[
+    \forall A \in \cF \quad \P[A] = \sum_{i = 1}^{n} \P[A | B_i] \cdot \P[B_i]
+\]
+
+\shorttheorem[Bayes] $B_i$ wie oben, damm $\forall A$ mit $\P[A] > 0$:
+\[
+    \forall i = 1, \ldots, n \quad \P[B_i | A] = \frac{\P[A | B_i] \P[B_i]}{\sum_{j = 1}^{n} \P[A | B_j] \P[B_j]}
+\]

semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex

@@ -20,6 +20,7 @@
 \input{parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex}
 \input{parts/00_basics/02_properties-of-events.tex}
 \input{parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex}
+\input{parts/00_basics/04_conditional-probability.tex}
 % \input{parts/00_basics/}
 
 \section{Zufallsvar., Verteilungsfunktionen}