[PS] Many small fixes

2026-09-10 13:05:24 +02:00 · 2026-08-18 12:02:00 +02:00
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@@ -19,3 +19,5 @@ Falls $A$ unabh. von sich selbst ($\P[A \cap A] = \P[A]^2$), dann $\P[A] \in \{0
 \[
    \forall j \subseteq I \text{ endlich} \quad \P\left[ \bigcap_{j \in J} A_j \right] = \prod_{j \in J} \P[A_j]
 \]
+
+\shortremark Für paarweise unabhängige Ereignisse $A_i$ ist jede Kombination von Vereinigungen und Schnittmengen unabhängig von anderen Variablen.
@@ -14,3 +14,5 @@
    \item $F$ ist rechtsseitig ($F(a) = \lim_{h \downarrow 0} F(a + h) \; \forall a \in \R$)
    \item $\limit{a}{-\8} F(a) = 0$ und $\limit{a}{\8} F(a) = 1$
 \end{enumerate}
+
+$F_{\cX^n}(a) = \P[\cX^n \leq a] = \P[(-1)^{n - 1}\sqrt[n]{a} \leq \cX \leq \sqrt[n]{a}]$
@@ -6,3 +6,5 @@ $\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}  \qquad

 \shorttheorem Für $n \in \N$ Z.V. $\cX_i \sim \text{Bin}\left( n, \frac{\lambda}{n} \right)$ und $\cN \sim \text{Poisson}(\lambda)$:
 $\forall k \in \N \quad \limni \P[\cX_i = k] = \P[\cN = k]$
+
+$\cX + \cY \sim \text{Poisson}(\lambda + \mu)$, nicht f. $\cX + 2\cY$ ($2\cY$ n. pois. dist)
@@ -6,7 +6,7 @@ $f_\cX$ ist Dichte (pdf) v. $\cX$
 Falls Z.V. Sprungstelle hat, \bi{weder stetig noch diskret}.\\
 Zudem wenn nicht $P[a < \cX \leq b]$, dann Grenzwert an Seite mit Abweichung von diesem Schema

-\shortremark $\P[\cX = n] \approx 0$; $\P[m \leq \cX \leq n] = \int_{m}^{n} f_\cX(x) \dx x$
+\shortremark \hl{$\P[\cX = n] \approx 0$}; $\P[m \leq \cX \leq n] = \int_{m}^{n} f_\cX(x) \dx x$

 \shorttheorem $F_\cX$ stetig stückw. diff. auf Partition $-\8 = x_0 < \ldots < x_n = \8$.
 Dann $\cX$ stetig, mit $a_k$ beliebig und
@@ -1,5 +1,5 @@
 \subsection{Ungleichungen}
-\shorttheorem[Markow] $\cX$ n.-neg., $g : \cX(\Omega) \rightarrow [0, \8)$. $\forall c \in \R$ mit $g(c) > 0$ gilt $\P[\cX \geq c] = \frac{\E[g(\cX)]}{g(c)}$
+\shorttheorem[Markow] $\cX$ n.-neg., $g : \cX(\Omega) \rightarrow [0, \8)$. $\forall c \in \R$ mit $g(c) > 0$ gilt $\P[\cX \geq c] \leq \frac{\E[g(\cX)]}{g(c)}$

 \shorttheorem[Jensensche] $\varphi: \R \rightarrow \R$ konvex, und falls $\E[\varphi(\cX)]$ und $\E[\cX]$ wohldefiniert: $\varphi(\E[\cX]) \leq \E[\varphi(\cX)]$

@@ -13,7 +13,7 @@ $\V[\cX] = \E[\cX^2] - \E[\cX]^2 = a^2\E[1_\Omega] - a^2 = 0$

 \shortproposition $\cX_k$ paarw. unabh. $\V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX_k]$.
 Falls $\cX_k$ abhängig, dann gilt $\neq$.
-Falls \bi{mermals} selbe Z.V. (e.g. $\cX - \cY - \cY$, ist $\cX - 2\cY$, dann $\V = 2^2 \V[\cY]$)
+Falls \bi{mermals} selbe Z.V. (e.g. $\cX - \cY - \cY$, ist $\cX - 2\cY$, dann $\V = \V[\cX] + 2^2 \V[\cY]$)

 \newpage
 \shortexample Varianz von bekannten Verteilungen
@@ -38,3 +38,4 @@ aber $\cX, \cY$ unabh. $\implies \cX, \cY$ unkorreliert
        \cov(\cX_n, \cX_1) & \cov(\cX_n, \cX_2) & \dots  & \V[\cX_n]          \\
    \end{pmatrix}
 \]
+Für 2 Z.V (bsp): $\V[\cX - \cY] = \V[\cX] + \V[\cY] - \cov(\cX, \cY)$
@@ -33,7 +33,7 @@ Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen
 \howto{Verteilungen / Dichten finden}{
    Wir suchen $\P[\cZ \leq a]$ (ausser für gem. V, dann s. oben).
    Dann überlegen, wie $\cZ \leq a$ erfüllt werden kann. Beispiel:
-    $Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \cup \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
+    $Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \lor \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
    Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen oder Indikatorvariablen.

    Zudem kann Verteilung der einzelnen Variablen (und v.a. Unabhängigkeit) nützlich werden.
@@ -45,5 +45,7 @@ Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen
    \bi{Für W. wie} $\P[\cX \leq \cY^3]$ übersetzen wir dies in Integral $\int_B f(x, y) \dx x \dx y$ mit $B = \{(x, y) \divider x \leq y^3 \}$, dann für $y \in [0, 1]$ gilt:
    $\int_0^1 \int_{0}^{y^3} f(x, y) \dx x \dx y$, wobei hier die untere Grenze durch gegebenes $x \geq 0$ entsteht.

+    Für unbekannte gemeinsame Dichte, die Eigenschaften ausfächern, Unabhängigkeit, etc ausnutzen.
+
    \bi{Für W. im Exponent}, dies beschreibt typ. Repetitionen, also über die Anzahl und W. nachdenken.
 }
@@ -25,5 +25,6 @@ bzw. $\overline{\cX}_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN \left( \mu, \frac
 \shortremark Für $S_n \sim \text{Bin}(n, p)$ ist $S_n^* \overset{\text{approx}}{\sim} \cN(np, np(1 - p))$ und
 $\P[a < S_n \leq b] \approx \Phi \left( \frac{b + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) - \Phi \left( \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)$

-\shortremark Für $\P[S_n \leq y]$: ZGS verwenden mit $\displaystyle x = \frac{y - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$,
-oder $\displaystyle x = \frac{x - n\mu}{\sigma}$ % TODO: When which?
+\shortremark Für Bestimmung von $\P[S_n \leq y]$, ZGS direkt verwenden, dann die Ungleichung in gewünschte Form umformen und $\E[\cX_i]$ und $\V[\cX_i]$ berechnen und einsetzen.
+
+\shortremark Im Allgemeinen für ZGS, gegebenen Ausdruck umformen, und allfällig Werte bestimmen.
@@ -81,13 +81,17 @@ $\cX_i \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ i.i.d. und $\vartheta = (\mu, \sigma^2) = (\mu,
 \]
 Der \bi{Momentschätzer} ist $T = (T_1, T_2) = (E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$:
 \[
-    T_1 = \overline{\cX}_n \qquad
-    T_2 = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k^2 - (\overline{\cX}_n)^2
+    T_1 = \overline{\cX}_n
+    \quad
+    T_2 = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (\cX_k - \overline{\cX}_n)^2 = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX^2_k - (\overline{\cX}_n)^2
 \]
 \bi{Erwartungstreuer Schätzer} für $(\E_\vartheta[\cX], \V_\vartheta[\cX])$ (s. \ref{sec:estimators}):
 \[
    T_1' = T_1 \quad
    T_2' = \frac{n}{n - 1} T_2
 \]
-{\scriptsize $T_2'$ ist (korrigierte) empirische (Stichproben)varianz \textit{((un)biased sample variance)}.
-Bei höherdimensionalen Parametern suchen wir den zugehörigen Nullvektor.}
+$T_2'$ ist die (korrigierte) \bi{empirische (Stichproben)varianz}
+
+{\scriptsize
+    \textit{((un)biased sample variance)}.
+    Bei höherdimensionalen Parametern suchen wir den zugehörigen Nullvektor.}
@@ -55,6 +55,3 @@ $\cosh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} : \R
 \subsubsection{Reihen}
 \label{sec:series}
 $\prod_{k = 1}^{n} \vartheta (1 - \vartheta)^{x_k - 1} = \vartheta^n (1 - \vartheta)^{S - n}$ mit $S = \sum_{k = 1}^{n} x_k$
-
-
-% TODO: Add log and power laws
@@ -19,6 +19,8 @@ dabei die innere Funktion gut wählen, ableiten und zurück substituieren. Grenz

 \shortremark[Quotient rule] $\displaystyle \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

+\shorttheorem[Fundamental Theorem] $\int_{a}^{b} f(x) \dx x = F(a) - F(b)$
+


 \begin{scriptsize}
@@ -36,6 +36,9 @@
 % TODO: Basic analysis stuff (some common integrals, fundamental theorem)

 \section{Basics}
+\coloredbox{ForestGreen}{IMPORTANT}{
+    Always simplify!!, i.e. insert $\E$, etc, and simplify
+}
 \input{parts/00_basics/00_probability-space.tex}
 \input{parts/00_basics/01_examples-probability-spaces.tex}
 \input{parts/00_basics/02_properties-of-events.tex}