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TeX
\subsection{Rundungsfehler}
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\begin{definition}[]{Absoluter \& Relativer Fehler}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{itemize}
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\item \bi{Absoluter Fehler}: $||\tilde{x} - x||$
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\item \bi{Relativer Fehler}: $\displaystyle \frac{||\tilde{x} - x||}{||x||}$ für $||x|| \neq 0$
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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wobei $\tilde{x}$ eine Approximation an $x \in \R$ ist
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\end{definition}
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Rundungsfehler entstehen durch die (verhältnismässig) geringe Präzision die man mit der Darstellung von Zahlen auf Computern erreichen kann.
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Zusätzlich kommt hinzu, dass durch Unterläufe (in diesem Kurs ist dies eine Zahl die zwischen $0$ und der kleinsten darstellbaren, positiven Zahl liegt) Präzision verloren gehen kann.
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Überläufe hingegen sind konventionell definiert, also eine Zahl, die zu gross ist und nicht mehr dargestellt werden kann.
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\begin{remark}[]{Auslöschung}
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Bei der Subtraktion von zwei ähnlich grossen Zahlen kann es zu einer Addition der Fehler der beiden Zahlen kommen, was dann den relativen Fehler um einen sehr grossen Faktor vergrössert.
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Die Subtraktion selbst hat einen vernachlässigbaren Fehler
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\end{remark}
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% Page 10
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\subsection{Richardson Konvergenzbeschleunigung}
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\begin{align*}
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y f'(x) & = y d\left(\frac{h}{2}\right) + \frac{1}{6} f'''(x) h^2 + \frac{1}{480}f^{(s)} h^4 + \ldots - f'(x) \\
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& = -d(h) - \frac{1}{6}f'''(x) h^2 + \frac{1}{120} f^{(s)}(x) h^n \Leftrightarrow 3 f'(x) \\
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& = 4 d\left(\frac{h}{2}\right) d(h) + \text{\tco{h^4}} \Leftrightarrow
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\end{align*}
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\fhlc{Cyan}{Schema}
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\begin{align*}
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d(h) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}
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\end{align*}
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wobei im Schema dann
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\begin{align*}
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R_{l, 0} = d\left( \frac{h}{2^l} \right)
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\end{align*}
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und
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\begin{align*}
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R_{l, k} = \frac{4^k \cdot R_{l, k - 1} - R_{l - 1, k - 1}}{4^k - 1}
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\end{align*}
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und $f'(x) = R_{l, k} + C \cdot \left( \frac{h}{2^l} \right)^{2k + 2}$
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