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\newsectionNoPB
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\subsection{Newton-Verfahren in $n$ Dimensionen}
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Sei $D \subseteq \R^n$ und $F: D \rightarrow \R^n$ stetig differenzierbar. Die Nullstelle ist
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\rmvspace
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\begin{align*}
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x^{(k + 1)} := x^{(k)} - DF(x^{(k)})^{-1} F(x^{(k)})
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\end{align*}
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\drmvspace
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wobei $DF(x^{(k)}) =
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\begin{bmatrix}
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\frac{\partial F_j}{\partial x_k} (x)
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\end{bmatrix}_{j, k = 1, 2, \ldots, n}$ die Jacobi-Matrix von $F$ ist.
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Wichtig ist dabei, dass wir \bi{niemals} das Inverse der Jacobi-Matrix (oder irgend einer anderen Matrix) von der Form $s = A^{-1} b$,
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sondern immer das Gleichungssystem $As = b$ lösen sollten, da dies effizienter ist:
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\begin{code}{python}
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def newton_2d(x: np.ndarray, F, DF, tol=1e-12, maxIter=50):
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""" Newton method in 2d using Jacobi Matrix of F"""
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for i in range(maxIter):
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s = np.linalg.solve(DF(x[0], x[1]), F(x[0], x[1]))
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x -= s
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if np.linalg.norm(s) < tol * np.linalg.norm(x): return x, i
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return x, maxIter
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\end{code}
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Wollen wir aber garantiert einen Fehler kleiner als unsere Toleranz $\tau$ können wir das Abbruchkriterium
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\rmvspace
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\begin{align*}
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||DF(x^{(k - 1)})^{-1}F(x^{(k)})|| \leq \tau
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\end{align*}
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\drmvspace
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verwenden. Code, welcher dies implementiert findet sich auf Seite 213-216 im Skript.
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