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% │ Author: Robin Bacher │
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% TODO: If you want your email to be in there, note it down here.
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% I also did not touch the unedited files to avoid conflicts
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\subsection{Interpolation und Polynome}
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Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
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Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
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\begin{align*}
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\begin{bmatrix}
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x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
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y_0 & y_1 & \ldots & y_n
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\end{bmatrix},
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\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
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\end{align*}
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Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
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Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
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$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
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Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
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Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
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Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
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\begin{align*}
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f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)
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\end{align*}
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\setLabelNumber{all}{1}
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\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
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Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
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% FIXME: This could go into a special "maths theory" section -> GOOD
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\setLabelNumber{all}{4}
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\fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
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\setLabelNumber{all}{5}
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\fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$
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\fancydef{Monom} $f: x \mapsto x^k$
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\fancytheorem{Eigenschaft von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
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