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\newsection
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\section{Interpolation}
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Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
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Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
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$$
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\begin{bmatrix}
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x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
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y_0 & y_1 & \ldots & y_n
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\end{bmatrix},
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\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
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$$
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Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
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\subsection{Polynomiale Interpolation}
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Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
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$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
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Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
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Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
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Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
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$$f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)$$
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\setcounter{all}{2}
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\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
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Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
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% This could go into a special "maths theory" section
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\setcounter{all}{5}
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\inlinetheorem \textit{(Peano)} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
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\setcounter{all}{7}
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\inlinedef \textit{(Raum der Polynome)} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$ \inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
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\inlinetheorem \textit{(Eigensch. von $\mathcal{P}_k$)} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
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\subsection{per Monombasis}
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\inlinetheorem \textit{(Eindeutigkeit)} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
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Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
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$$
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p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
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\underbrace{
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\begin{bmatrix}
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1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
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1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
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\end{bmatrix}
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}_\text{Vandermonde Matrix}
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\begin{bmatrix}
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\alpha_0 \\
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\alpha_1 \\
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|
\vdots \\
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\alpha_n
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\end{bmatrix}
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=
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\begin{bmatrix}
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y_0 \\
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y_1 \\
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|
\vdots \\
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y_n
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|
\end{bmatrix}
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$$
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Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
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Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
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\inlinedef \textit{(Horner Schema)} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
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\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus.
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\subsection{Newton Basis} |