mirror of
https://github.com/janishutz/eth-summaries.git
synced 2025-11-25 10:34:23 +00:00
14 lines
742 B
TeX
14 lines
742 B
TeX
\subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation}
|
|
Mithilfe der DFT können günstig und einfach die Chebyshev-Koeffizienten berechnet werden.
|
|
Die Idee basiert auf dem Satz 2.4.16, durch welchen schon schnell klar wird, dass es eine Verbindung zwischen den Fourier-Koeffizienten und Chebyshev-Koeffizienten gibt.
|
|
|
|
Die Chebyshev-Knoten sind folgendermassen definiert:
|
|
\begin{align*}
|
|
t_k := \cos\left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)} \pi \right), \smallhspace k = 0, \ldots, n
|
|
\end{align*}
|
|
Mit den Hilfsfunktionen $g: [-1, 1] \rightarrow \C, s \mapsto f(\cos(2\pi s))$ und $q: [-1, 1] \rightarrow \C, s \mapsto p(\cos(2\pi s))$,
|
|
können wir folgendes mit der Interpolationsbedingung $f(t_k) = p(t_k)$ tun:
|
|
\begin{align*}
|
|
f(t_k) = p(t_k)
|
|
\end{align*}
|