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TeX
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\shortdefinition $\displaystyle \overline{\cX}_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k$ ist das \bi{arithmetische Mittel} der $\cX_k$.
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{\scriptsize \shortterm In Zusammenhang mit Zufallsvariablen auch \bi{Sichprobenmittel} genannt. Realisierung wird \bi{empirischer Mittelwert} genannt}
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% TODO: Possibly add the remark from P288 (P6 in Slide Deck 6) on expected value
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\shorttheorem[Schwaches Ges. der grossen Zahlen] Sei $K = \{ 1, 2, \ldots \}$ und $\forall k \in K : \cX_k$ unabh. Z.V. mit $\E[\cX_k] = \mu$; $\V[\cX_k] = \sigma^2$:
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\[
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\overline{\cX}_n = \frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \cX_k
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Dann konvergiert $\overline{\cX}_n$ für $n \rightarrow \8$ in Wahrscheinlichkeit gegen $\mu = \E[\cX_k]$,
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also $\forall \varepsilon > 0$ gilt $\P[|\overline{\cX}_n - \mu| > \varepsilon] \overset{n \rightarrow \8}{\longrightarrow} 0$
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