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\subsection{Diagonalisierung}
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Wir definieren $\text{KodTM}$ als die \textit{Menge der binären Kodierungen aller Turingmaschinen}.
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Wir haben $\text{KodTM} \subseteq \wordbool$ und die obere Schranke der Kardinalität ist $|\wordbool|$, da es unendlich viele Turingmaschinen gibt.
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Im Folgenden wird wieder Cantor's Diagonalisierungsmethode verwendet
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\begin{recall}[]{Cantor's Diagonalization Argument}
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% TODO: Finish
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\TODO Finish
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\end{recall}
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\inlinedef $A$ und $B$ sind Mengen. Dann ist $|A| \leq |B|$ falls eine \textit{injektive} Funktion $f$ von $A$ nach $B$ existiert;
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$|A| = |B|$ falls $|A| \leq |B|$ und $|B| \leq |A|$ (es existiert eine Bijektion);
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$|A| < |B|$ falls $|A| \leq |B|$ und keine injektive Abbildung von $B$ nach $A$ existiert.
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Um zu zeigen, dass es nicht rekursiv aufzählbare (also von Turingmaschinen nicht erkennbare) Sprachen gibt.
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Also müssen wir laut Definition \ref{definition:5-1} nur zeigen, dass keine Injektion von $\wordbool$ nach $\mathcal{L}_{RE}$ existiert.
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\fancydef{Abzählbarkeit} $A$ heisst abzählbar, falls $A$ endlich ist oder $|A| = |\N|$
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\inlinelemma Sei $\Sigma$ ein beliebiges Alphabet. Dann ist $\word$ abzählbar
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\inlinetheorem Die Menge $\text{KodTM}$ der Turingmaschinenkodierungen ist abzählbar
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\inlinelemma $(\N - \{ 0 \}) \times (\N - \{ 0 \})$ ist abzählbar. Die Idee ist dieselbe wie für $|Q^+| = |\N|$, nämlich, dass wir jedem Element einen Index zuordnen können.
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\inlinetheorem $\Q^+$ ist abzählbar. Die Idee für den Beweis ist eine Bijektion nach obiger Menge zu finden.
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\inlinetheorem $[0, 1] \subseteq \R$ ist nicht abzählbar. Dies kann mit Cantor's Diagonalization Argument bewiesen werden.
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\inlinetheorem $\mathcal{P}(\wordbool)$ ist nicht abzählbar
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\inlinecorollary $|\text{KodTM}| < |\mathcal{P}(\wordbool)|$ und es existieren also unendlich viele nicht rekursiv aufzählbare Funktionen.
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Um für eine spezifische Sprache zu beweisen, dass sie rekursiv aufzählbar ist, können wir einfach eine Turingmaschine konstruieren.
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Für eine Beweis dafür, dass eine Sprache nicht rekursiv aufzählbar ist können wir folgende Methode verwenden. Sei dazu mit $d_{ij} = 1 \Longleftrightarrow M_i \text{ akzeptiert } w_j$
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\begin{align*}
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L_{\text{diag}} & = \{ w \in \wordbool \divides w = w_i \text{ für ein } i \in \N - \{ 0 \} \text{ und } M_i \text{ akzeptiert } w_i \text{ nicht} \} \\
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& = \{ w \in \wordbool \divides w = w_i \text{ für ein } i \in \N - \{ 0 \} \text{ und } d_{ii} = 0 \}
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\end{align*}
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\inlinetheorem $L_{\text{diag}} \notin \mathcal{L}_{RE}$
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\inlineproof Zum Widerspruch nehmen wir an, dass $L_\text{diag} \in \mathcal{L}_{RE}$.
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Dann gilt, dass $L_\text{diag} = L(M)$ für eine Turingmaschine $M$.
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$M$ ist eine Turingmaschine in der kanonischen Ordnung der Turingmaschinen, also existiert ein $i \in \N - \{ 0 \}$, so dass $M = M_i$.
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Dies führt zu einem Widerspruch, denn $L_\text{diag}$ kann nicht gleich $L(M_i)$ sein, da
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\begin{align*}
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w_i \in L_\text{diag} \Longleftrightarrow d_{ii} \Longleftrightarrow w_i \notin L(M_i)
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\end{align*}
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also ist $w_i$ genau dann in $L_\text{diag}$ wenn $w_i$ \textit{nicht} in $L(M_i)$ ist und umgekehrt. (= in genau einer der Sprachen $L_\text{diag}$ oder $L(M_i)$)
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