mirror of
https://github.com/janishutz/eth-summaries.git
synced 2026-07-27 21:29:09 +02:00
142 lines
4.7 KiB
TeX
142 lines
4.7 KiB
TeX
\subsection{Allgemeiner Erwartungswert}
|
|
|
|
\definition \textbf{Erwartungswert} (nicht-negativ)
|
|
$$
|
|
\E[X] = \int_{0}^{\infty} \biggl( 1-F_X(x) \biggr)\ dx
|
|
$$
|
|
\subtext{$X: \Sigma \to \R,\quad X(\omega) \geq 0\ \forall \omega \in \Omega$}
|
|
|
|
{\scriptsize
|
|
\remark $\E[X]$ kann unendlich sein
|
|
}
|
|
|
|
\theorem $\forall \omega \in \Omega: X(\omega) \geq 0 \implies \E[X] \geq 0$\\
|
|
\subtext{Gleichheit: $\E[X] = 0 \iff X=0$, fast sicher}
|
|
|
|
% Sollte nicht relevant sein
|
|
|
|
% \definition \textbf{Erwartungswert}
|
|
% $$
|
|
% \E[X] = \E[X_+] - \E[X_-] \quad\text{falls}\quad \E[|X|]<\infty
|
|
% $$
|
|
% {\scriptsize
|
|
% \remark $X$ kein konst. Vorzeichen, nicht $\E[|X|] < \infty $: $\E[X]$ undefiniert
|
|
% }
|
|
|
|
\theorem \textbf{Diskreter Erwartungswert}\\
|
|
\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad W \cleq \N,\quad \phi: \R \to \R$}
|
|
$$
|
|
\E\bigl[ \phi(X) \bigr] = \sum_{w \in W} \phi(x) \cdot \P[X = x]
|
|
$$
|
|
|
|
\definition \textbf{Erwartungswert} (stetig)\\
|
|
\subtext{$X: \Omega \to \R,\quad f(x) \text{ Dichtefunktion}$}
|
|
$$
|
|
\E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\ dx
|
|
$$
|
|
|
|
\theorem \textbf{Eigenschaften}\\
|
|
\subtext{$X,Y:\Omega\to\R,\quad\lambda\in\R$}
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{(i)} &\quad \E[\lambda X] &=& \lambda \E[X] \\
|
|
\text{(ii)} &\quad \E[X + Y] &=& \E[X] + \E[Y] \\
|
|
\text{(iii)} &\quad X \leq Y &\implies& \E[X] \leq \E[Y] \\
|
|
\text{(iv)} &\quad X \perp Y &\implies& \E[X\cdot Y] = \E[X]\cdot\E[Y]
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\theorem \textbf{Dichtefunktion bei Abbildungen}\\
|
|
\smalltext{$\phi:\R\to\R$ stückweise stetig, beschränkt}
|
|
$$
|
|
f \text{ Dichte von } X \iff \E[\phi(X)] = \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)f(x)\ dx
|
|
$$
|
|
\subtext{$f:\R\to\R_+$ s.d. $\int_{-\infty}^{\infty}f(x\ dx = 1)$}
|
|
|
|
\theorem \textbf{Unabhängigkeit} (durch Abbildungen)\\
|
|
\smalltext{$\forall \phi,\psi:\R\to\R$ stückweise stetig, beschränkt}
|
|
$$
|
|
X,Y \text{ unabh.} \iff \E[\phi(X)\psi(Y)] = \E[\phi(X)]\cdot\E[\psi(Y)]
|
|
$$
|
|
\subtext{Auch verallgemeinert für $X_1,\ldots,X_n$, $\phi_1,\ldots,\phi_n$}
|
|
|
|
\newpage
|
|
\subsection{Varianz}
|
|
|
|
\definition \textbf{Varianz}\\
|
|
\subtext{$\E[X^2]<\infty$}
|
|
$$
|
|
\mathbb{V}[X] := \E\Bigl[ (X - \E[X])^2 \Bigr]
|
|
$$
|
|
\definition \textbf{Standardabweichung}
|
|
$$
|
|
\rho(X) := \sqrt{\mathbb{V}[X]}
|
|
$$
|
|
{\scriptsize
|
|
\notation Auch $\rho, \rho_X$
|
|
}
|
|
|
|
\lemma \textbf{Varianz} (Alternativ)
|
|
$$
|
|
\mathbb{V}[X] = \E[X^2]-\E[X]^2
|
|
$$
|
|
|
|
{\footnotesize
|
|
\textbf{Beispiel:} Bestimme $\E\bigl[X^2\bigr]$, wobei $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$, $\lambda > 0$.
|
|
\begin{align*}
|
|
\V[X] &= \E\bigl[X^2\bigr] - \E[X]^2 & (X \sim \text{Poisson}(\lambda)) \\
|
|
\lambda &= \E\bigl[X^2\bigr] - \lambda^2 \\
|
|
\lambda + \lambda^2 &= \E\bigl[X^2\bigr] \\
|
|
\end{align*}
|
|
}
|
|
|
|
\lemma \textbf{Eigenschaften}
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{(i)} &\quad \V[X] \geq 0 \\
|
|
\text{(ii)} &\quad \V[aX] = a^2\V[X] \\
|
|
\text{(iii)} &\quad \V[X+a] = \V[X]
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\lemma \textbf{Addition} (Unabhängigkeit)\\
|
|
\smalltext{$X_1,\ldots,X_n$ paarweise unabhängig}
|
|
$$
|
|
\V\Biggl[ \sum_{k=1}^{n}X_k \Biggr] = \sum_{k=1}^{n}\V[X_k]
|
|
$$
|
|
|
|
\newpage
|
|
\subsection{Kovarianz}
|
|
|
|
\definition \textbf{Kovarianz}\\
|
|
\subtext{$X,Y$ s.d. $\E[X^2],\E[Y^2]<\infty$}
|
|
$$
|
|
\text{cov}(X,Y) := \E\Bigl[ (X-\E[X])\cdot(Y-\E[Y]) \Bigr]
|
|
$$
|
|
|
|
\lemma \textbf{Kovarianz} (Alternativ)
|
|
$$
|
|
\text{cov}(X,Y) = \E[XY] - \E[X]\E[Y]
|
|
$$
|
|
|
|
\remark $\text{cov}(X,X) = \V[X]$
|
|
|
|
\lemma \textbf{Eigenschaften von} $\text{cov}$
|
|
\begin{align*}
|
|
\text{(i)}\quad & \text{cov}(X,Y) \geq 0 \\
|
|
\text{(ii)}\quad & \text{cov}(X,Y) = \text{cov}(Y,X) \\
|
|
\text{(iii)}\quad & X,Y \text{ unabh. } \implies \text{cov}(X,Y) = 0\quad \text{\subtext{Nicht umgekehrt!}} \\
|
|
\text{(iv)}\quad & \V[X \pm Y] = \V[X] + \V[Y] \pm 2\text{cov}(X,Y) \\
|
|
\text{(v)}\quad & \text{cov}\Biggl( \sum_{i=1}^{n}X_i,\sum_{j=1}^{n}Y_i \Biggr) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\text{cov}(X_i,Y_j) \\
|
|
\text{(vi)}\quad & \text{cov}(aX+b, cY+d) = ac\cdot\text{cov}(X,Y) \\
|
|
\text{(vii)}\quad & \text{cov}\Bigl(X, (eY+f) + (gZ+h)\Bigr) = e\text{cov}(X,Y) + g\text{cov}(X,Z)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\definition \textbf{Kovarianzmatrix} \subtext{$\quad \textbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^\top$}
|
|
{\small
|
|
$$
|
|
\Sigma = \text{cov}(\textbf{X}) = \begin{bmatrix}
|
|
\V[X_1] & \text{cov}(X_1,X_2) & \cdots & \text{cov}(X_1,X_n) \\
|
|
\text{cov}(X_2,X_1) & \text{cov}(X_2,X_2) & \cdots & \text{cov}(X_2,X_n) \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
\text{cov}(X_n,X_1) & \text{cov}(X_n,X_2) & \cdots & \text{cov}(X_n,X_n)
|
|
\end{bmatrix}
|
|
$$
|
|
}
|