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\subsection{Eigenschaften Wahrscheinlichkeitsmasse}
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\shorttheorem $\P$ Wahrscheinlichkeitsmass auf $(\Omega, \cF)$, $A$ Ereignis:
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\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
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\item Es gilt $\P[\varnothing] = 0$
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\item \bi{Additivität} $k \geq 1$, $A_1, \ldots, A_k$ paarw. disj. Ereignisse:\\
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$\P[A_1 \cup \dots \cup A_k] = \P[A_1] + \dots + \P[A_k]$
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\item $\P[A^C] = 1 - \P[A]$
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\item $B$ Ereignis, dann $\P[A \cup B] = \P[A] + \P[B] - \P[A \cap B]$
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Nützliche Ungleichungen}
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\shorttheorem[Monot.] $A, B \in \cF$, dann $A \subseteq B \Rightarrow \P[A] \leq \P[B]$
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\shorttheorem[Union Bound] Für $A_1, A_2, \ldots$ (mögl. disj.) gilt:
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$\P\left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$.
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Auch für endl. n.-leere Ereignisse
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\stepLabelNumber{combined}
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\subsubsection{Anwendungen der Ungleichungen}
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Sie sind nützlich für schwer zu berechnende W.
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\shorttheorem $(A_n)$ mit $A_n \subseteq A_{n + 1}$ (mon. wachsend). Dann:
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{\centering $\limni P[A_n] = \P\left[ \bigcup_{n = 1}^\8 A_n \right]$\\}
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und für $(B_n)$ mit $B_n \supseteq B_{n + 1}$ (mon. fallend) gilt:\\
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$\limni P[B_n] = \P\left[ \bigcap_{n = 1}^\8 B_n \right]$
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\shortremark Mit Monotonie: $\P[A_n] \leq \P[A_{n + 1}]$ und\\
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$\P[B_n] \geq \P[B_{n + 1}]$. Grenzwerte oben wohldefiniert.
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