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RobinB27
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TeX
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TeX
\theorem \textbf{Schwaches Gesetz der grossen Zahlen}\\
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\smalltext{$X_1,X_2,\ldots$ unabh.,$\quad\forall k: \E[X_k] = \mu,\V[X_k]=\sigma^2$}
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\bar{X}_n = \frac{1}{n}S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_n
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Dann konvergiert $\bar{X}_n$ für $n\to\infty$ gegen $\mu$
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\P\Bigl[ |\bar{X}_n - \mu| < \epsilon \Bigr] \overset{n\to\infty}{\rightarrow} 0
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\subtext{Intuitiv: Die Summe konvergiert zum Erwartungswert}
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% Starkes Gesetz
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\definition \textbf{Konvergenz in Verteilung}\\
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\smalltext{$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}, X$ Zufallsvariablen}
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X_n \overset{\text{Approx.}}{\approx} X \qquad \text{für } n \to \infty
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Falls:
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\forall x \in \R:\quad \underset{n\to\infty}{\lim}\P\Bigl[ X_n \leq x \Bigr] = \P\Bigl[X \leq x\Bigr]
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{\footnotesize
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\remark Diskrete Zufallsvariablen können zu stetigen konvergieren.
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}
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% Slides viel detaillierter als Skript
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\theorem \textbf{Zentraler Grentwertsatz}\\
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\smalltext{$(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d s.d. $\E[X_k]=\mu, \V[X_k]=\sigma^2, S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$}
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$$
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\underset{n\to\infty}{\lim}\P\Biggl[ \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leq x \Biggr] = \Phi(x)
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$\Phi(x)$ ist die Verteilung von $\mathcal{N}(0, 1)$.
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$$
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S_n \overset{\text{approx.}}{\sim} \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)
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\subtext{ZGS wird häufig zur Approximation von Summen verwendet}
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\definition \textbf{Standardisierung von $S_n$}
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S_n^* := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{S_n - \E[S_n]}{\sqrt{\V[S_n]}}
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$$
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\subtext{Im Skript auch $Z_n$}
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% Slides: Chernoff bounds & mehr ZGS (nicht im Skript) |