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\newpage
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\subsection{Kovarianz}
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\shortdefinition $\cov(\cX, \cY) = \E[(\cX - \E[\cX])(\cY - \E[\cY])]$
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\shortremark $\cov(\cX, \cY) = \E[\cX \cY] - \E[\cX] \E[\cY]$
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\shortremark $\cov(\cX, \cX) = \V[\cX]$
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\shortremark $\cov(\cX, \cY) = 0 \Longrightarrow \cX, \cY$ unabh. ($\Leftarrow$ impl. falsch!)
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\shortremark $\cX, \cY$ unabh. $\Longleftrightarrow \elementstack{\forall \varphi, \psi \text{stückweise stetig, beschränkt gilt}}{\cov(\varphi(\cX), \psi(\cY)) = 0}$
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\shortremark Folgende Terminologie (neg. korr. = antikorreliert):
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\begin{itemize}
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\item Wenn $\cov(\cX, \cY) > 0$, dann: $\cX$, $\cY$ \bi{positiv korreliert}
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\item Wenn $\cov(\cX, \cY) = 0$, dann: $\cX$, $\cY$ \bi{unkorreliert}
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\item Wenn $\cov(\cX, \cY) < 0$, dann: $\cX$, $\cY$ \bi{negativ korreliert}
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\end{itemize}
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\shortexample $\cX, \cY$ unkorreliert $\centernot\implies \cX, \cY$ unabhängig
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\shortremark Eigenschaften der Kovarianz (alle $a, \ldots \in \R$):
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\begin{itemize}
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\item \bi{Positive Semidefinitheit}: $\cov(\cX, \cX) \geq 0$
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\item \bi{Symmetrie}: $\cov(\cX, \cY) = \cov(\cY, \cX)$
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\item \bi{Bilin.}: $\cov(a\cX + b, c\cY + d) = ac \cov(\cX, \cY)$ und\\
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$\cov(\cX, (e \cY + f) + (g \cZ + h))\! =\! e \cov(\cX, \cY) + g \cov(\cX, \cZ)$
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\end{itemize}
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\shortremark $\displaystyle \V\left[ \sum_{k = 1}^{n} \cX_k \right] = \sum_{k = 1}^{n} \V[\cX]_k + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} \sum_{l = k + 1}^{n} \cov(\cX_k, \cX_l)$
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\shortremark In Matrix-Notation für $\vec{\cX} = (\cX_1, \ldots, \cX_n)^\top$
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\[
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\Sigma = \begin{pmatrix}
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\V[\cX_1] & \cov(\cX_1, \cX_2) & \dots & \cov(\cX_1, \cX_n) \\
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\cov(\cX_2, \cX_1) & \V[\cX_2] & \dots & \cov(\cX_2, \cX_n) \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\
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\cov(\cX_n, \cX_1) & \cov(\cX_n, \cX_2) & \dots & \V[\cX_n] \\
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\end{pmatrix}
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\]
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