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Das Skript-Kapitel hierzu existiert nicht. Die Vorlesung orientiert sich an dem äquivalenten Teil des NumCSE Dokuments.
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\textbf{Perturbierte LGS}
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Statt $Ax = b$ ist das LGS ungenau gegeben: $(A + \Delta A)(\tilde{x} - x) = \Delta b - \Delta Ax$.
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$\text{cond}(A) := \left\lvert\left\lvert A^{-1} \right\rvert\right\rvert \cdot \lvert\lvert A \rvert\rvert \in \mathbb{R}$ (Konditionszahl von $A$)
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$\text{cond}(A) \gg 1$ bedeutet intuitiv: kleine Änderung der Daten $\mapsto$ grosse Änderung in der Lösung
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\textbf{Gauss Elimination / LU Zerlegung}
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$A \in \mathbb{R}^{n\times m} = PLU$ wie bekannt.
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\textbf{Cholesky Zerlegung} ($A$ pos. def. und hermitesch)
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$A = LDL^\top = \underbrace{L\sqrt{D}}_{R^\top}\underbrace{\sqrt{D}L^\top}_{R} = R^\top R$
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Kann $Ax = b$ potenziell schneller lösen als LU.
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\begin{code}{python}
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L = np.linalg.solve(A) # A = L @ L.T
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y = np.linalg.solve(L, b)
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x = np.linalg.solve(L.T, y)
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\end{code}
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\textbf{Grosse Matrizen}
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Passen oft nicht (direkt) in den Speicher: effizientere Speicherung nötig, möglich für z.B. Diagonalmatrizen, Dreiecksmatrizen. Auch für Cholesky möglich.
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\textbf{Dünnbesetzte Matrizen}
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$\text{nnz}(A) := |\{ (i,j) \ |\ a_{ij} \in A, a_{ij} \neq 0 \}| \ll m\cdot n$
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$\underset{l \to \infty}{\lim} \frac{\text{nnz}(A^{(l)})}{n_l m_l} = 0$
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Einfacher zu speichern: \verb|val, col, row| vektoren s.d. \verb|val[k]| $ = a_{ij}$ wobei $i=$ \verb|row[k]|, $j=$ \verb|col[k]|. (nur $a_{ij} \neq 0$)
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Viele Formate, je nach Anwendung gewisse sinnvoller als andere. (Siehe Tabelle, NumCSE)
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\verb|scipy.sparse.csr_matrix(A)| $\mapsto$ Dramatische Speichereinsparung.\\
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Deprecated: \verb|bsr_array| und \verb|coo_array| verwenden, kompatibel mit \verb|numpy| arrays.
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\verb|CSC, CSR| erlauben weitere Optimierungen, je nach Gewichtung der $a_{ij}$ auf Zeilen, Spalten.
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