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% │ AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com> │
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\newsection
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\subsection{Chebyshev Interpolation}
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% Session: Chebyshev Pol. : Abszisse = Extrema, Knoten = Nullstellen
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% Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
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% $\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
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% Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)
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\begin{definition}[]{Chebyshev-Polynome}
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\begin{multicols}{2}
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\fhl{Erster Art}
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\rmvspace
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\begin{align*}
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T_n(x) = \cos(n \arccos(x)), \smallhspace x \in [-1, 1]
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\end{align*}
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\fhl{Zweiter Art}
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\rmvspace
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\begin{align*}
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U_n(x) = \frac{\sin((n + 1) \arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}, \smallhspace x \in [-1, 1]
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\end{align*}
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\end{multicols}
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\end{definition}
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$T_n(x)$ scheint erst nicht ein Polynom zu sein, aber wir haben einen $\arccos$ in einem $\cos$. Zudem:
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\stepLabelNumber{all}
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\fancytheorem{Eigenschaften}
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Das $n$-te Chebyshev-Polynom ist ein Polynom von Grad $n$ und für $x \in [-1, 1]$ gilt:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $T_0(x) = 1, T_1(x) = x$,\\ $T_{n + 1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n - 1}(x)$
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\item $|T_n(x)| \leq 1$
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\item $T_n\left(\cos\left( \frac{k\pi}{n} \right)\right) = (-1)^k \text{ für } k = 0, \ldots, n$
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\item $T_n\left( \cos\left( \frac{(2k + 1) \pi}{2n} \right) \right) = 0 \text{ für } k = 0, \ldots, n - 1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\fancydef{Chebyshev-Knoten} Die $(n + 1)$ Chebyshev-Knoten $x_0, \ldots, x_n$ im Intervall $[-1, 1]$ sind die Nullstellen von $T_{n + 1}(x)$
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\fancyremark{Chebyshev-Knoten für beliebiges Intervall} Für $I = [a, b]$ sind die Chebyshev-Knoten:
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\rmvspace
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\begin{align*}
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x_k = a + \frac{1}{2} (b - a) \left( \cos \left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)} \pi \right) + 1 \right) \smallhspace k = 0, \ldots, n
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\end{align*}
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\fancydef{Chebyshev-Abszissen} Die $(n - 1)$ Chebyshev-Abszissen $x_0, \ldots, x_{n - 2}$ im Intervall $[-1, 1]$ sind die Extrema des Chebyshev-Polynoms $T_n(x)$ und zeitgleich die Nullstellen von $U_{n - 1}(x)$.
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Je nach Kontext nimmt man noch die Grenzen des Intervalls ($1$ und $-1$) hinzu und hat dann $(n + 1)$ Abszissen.
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Die Baryzentrischen Gewichte sind dann viel einfacher zu berechnen: $\lambda_k = (-1)^k$ (siehe Bemerkung unterhalb der Baryzentrischen Interpolationsformel, Kapitel \ref{sec:barycentric-interpolation})
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\fancyremark{Chebyshev-Abszissen für beliebiges Intervall} Für $I = [a, b]$ sind die Chebyshev-Abszissen:
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\rmvspace
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\begin{align*}
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x_k = a + \frac{1}{2} (b - a) \left( \cos \left( \frac{k}{n} \pi \right) + 1 \right) \smallhspace k = 0, \ldots, n
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\end{align*}
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Oder $k = 1, \ldots, n - 1$ bei ausgeschlossenen Endpunkten $a$ und $b$
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\inlineremark Gegen die Ränder des Intervalls werden die Chebyshev-Knoten dichter.
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\begin{theorem}[]{Orthogonalität}
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Die Chebyshev-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts
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\rmvspace
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\begin{align*}
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\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \dx x
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\end{align*}
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Sie ($T_0, \ldots, T_n$) sind zudem orthogonal bezüglich des diskreten Skalarprodukts im Raum der Polynome von Grad $\leq n$
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\rmvspace
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\begin{align*}
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(f, g) = \sum_{l = 0}^{n} f(x_l)g(x_l)
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\end{align*}
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wobei $(x_0, \ldots, x_n)$ die Nullstellen von $T_{n + 1}$ sind.
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\end{theorem}
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% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
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\stepLabelNumber{all}
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\newpage
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\subsubsection{Fehler}
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Was hat die neue Verteilung für einen Einfluss auf den Fehler?
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\begin{theorem}[]{Fehlerabschätzung}
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Unter allen $(x_0, \ldots, x_n)$ mit $x_i \in \R$ wird (wobei $x_k$ die Nullstellen von $T_{n + 1}$ sind)
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\rmvspace
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\begin{align*}
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\max_{x \in [-1, 1]} |(x - x_0) \cdot \ldots \cdot (x - x_n)| & & \text{minimal für } x_k = \cos \left( \frac{2k + 1}{2(n + 1)}\pi \right)
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\end{align*}
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\end{theorem}
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Folglich sind also die Nullstellen der Chebyshev-Polynome $T_n$ die bestmögliche Wahl für die Stützstellen.
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Da die Abszissen mit FFT einfacher zu berechnen sind, werden diese oft bevorzugt berechnet.
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Dies, da die Nullstellen von $T_n$ in den Extrema von $T_{2n}$ enthalten sind, während zudem zwischen zwei nebeneinanderliegenden Chebyshev-Abszissen jeweils eine Nullstelle von $T_{2n}$ liegt
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\stepLabelNumber{all}
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\fancytheorem{Lebesgue-Konstante} Für die Chebyshev-Interpolation: $\displaystyle \Lambda_n \approx \frac{2}{\pi} \log(n) \text{ für } n \rightarrow \infty$
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% ────────────────────────────────────────────────────────────────────
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\stepLabelNumber{all}
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\begin{theorem}[]{Interpolationspolynom}
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Das Interpolationspolynom $p$ zu $f$ mit Chebyshev-Knoten gleich der Nullstellen von $T_{n + 1}$ ist gegeben durch
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\begin{align*}
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p(x) = c_0 + c_1 T_1(x) + \ldots + c_n T_n(x)
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\end{align*}
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wobei für die $c_k$ gilt:
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\begin{align*}
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c_k & = \frac{2}{n + 1} \sum_{l = 0}^{n} f\left( \underbrace{\cos \left( \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right)}_{= x_i (\text{Knoten})} \right)
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\cos \left( k \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right) & & \text{für } k = 1, \ldots, n \\
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c_k & = \frac{1}{n + 1} \sum_{l = 0}^{n} f\left( \underbrace{\cos \left( \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right)}_{= x_i (\text{Knoten})} \right)
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\cos \left( k \frac{2l + 1}{n + 1} \frac{\pi}{2} \right) & & \text{für } k = 0
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\end{align*}
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\end{theorem}
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Für $n \geq 15$ berechnet man $c_k$ mit der Schnellen Fourier Transformation (FFT).
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\fancyremark{Laufzeit} Für die Interpolation ergibt sich folgender Aufwand:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ll}
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Direkte Berechnung der $c_k$ & $\tco{(n + 1)^2}$ Operationen \\
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Dividierte Differenzen & $\tco{\frac{n (n + 1)}{2}}$ Operationen (zum Vergleich) \\
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$c_k$ mittels FFT & $\tco{n \log(n)}$ Operationen
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\end{tabular}
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\end{center}
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\fancytheorem{Clenshaw-Algorithmus} Seien $d_{n + 2} = d_{n + 1} = 0$. Sei $d_k = c_k + (2x)d_{k + 1} - d_{k + 2} \text{ für } k = n, \ldots, 0$\\
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Dann gilt: $p(x) = \frac{1}{2}(d_0 - d_2)$ und man kann das Interpolationspolynom $p(x)$ mit Hilfe einer Rückwärtsrekursion berechnen
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Der Clenshaw-Algorithmus ist sehr stabil, auch wenn er mit (oft) unstabilen Rekursionen implementiert ist.
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Auf der nächsten Seite findet sich eine saubere, effiziente Implementation des Clenshaw-Algorithmus:
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\newpage
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\begin{code}{python}
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def clenshaw(coeffs: np.ndarray, x: np.ndarray):
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n = len(coeffs) - 1
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# initialise temporary variables
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d_prev_prev, d_prev, d_curr = (
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np.zeros_like(x),
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np.zeros_like(x),
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np.zeros_like(x),
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)
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for k in range(n, -1, -1): # backward recursion
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d_curr = coeffs[k] + 2 * x * d_prev - d_prev_prev
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d_prev_prev, d_prev = d_prev, d_curr
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return d_prev - x * d_prev_prev
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\end{code}
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\innumpy kann man mit \texttt{np.polynomial.chebyshev.chebfit} ein polyfit für Chebyshev-Polynome durchführen und mit \texttt{np.polynomial.chebyshev.chebder}
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die Ableitungen der Approximation berechnen. Die \texttt{chebder}-Funktion nimmt die normalen Chebyshev-Koeffizienten als Argument, die man einfach mit folgendem Code berechnen kann:
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\begin{code}{python}
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def get_cheb_coeffs(abscissa: np.ndarray)
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n = len(abscissa) - 1
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dct_vals = scipy.fft.dct(abscissa, type=1)
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coeffs = dct_vals / n
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coeffs[0] /= 2
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self.coeffs = coeffs
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\end{code}
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