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\subsection{Das Modell der Turingmaschine}
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Eine Turingmaschine (oft auch Turing-Maschine geschrieben) besteht informell aus
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item einer endlichen Kontrolle, die das Programm enthält
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\item einem Arbeitsband unendlicher Länge (das es Erlaubt, im Vergleich zum EA, Daten zu speichern)
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\item einem Lese-/Schreibkopf, der sich in beide Richtungen auf dem Band bewegen kann
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\end{enumerate}
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Formaler:
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\begin{definition}[]{Turingmaschine (TM)}
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Eine \bi{Turingmaschine} ist eine $7$-Tupel $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, \qacc, \qrej)$, wobei:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $Q$ ist die \bi{Zustandsmenge}
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\item $\Sigma$ ist das \bi{Eingabealphabet} mit $\cent, \textvisiblespace \notin \Sigma$
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\item $\Gamma$ ist das \bi{Arbeitsalphabet} mit $\Sigma \subseteq \Gamma$, $\cent, \textvisiblespace \in \Gamma$ und $\Gamma \cap Q = \emptyset$
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($\cent$ = Startmarker, $\textvisiblespace$ = Blanksymbol)
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\item $\delta : (Q - \{ \qacc, \qrej \}) \times \Gamma \longrightarrow Q \times \Gamma \times \{ L, R, N \}$ ist die \bi{Übergangsfunktion von $M$},
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wobei $\{ L, R, N \}$ die möglichen Bewegunsrichtungen des Lese-/Schreibkopfs sind
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und hat die Eigenschaft $\delta(q, \cent) \in Q \times \{ \cent \} \times \{ R, N \}$ für alle $q \in Q$
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\item $q_0$ ist der \bi{Anfangszustand}
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\item $\qacc$ ist der \bi{akzeptierende Zustand} (genau einer in jedem $M$)
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\item $\qrej$ ist der \bi{verwerfende Zustand} (genau einer in jedem $M$)
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\end{enumerate}
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Eine \bi{Konfiguration} $C$ von $M$ ist ein Element aus $\text{Konf}(M) = \{ \cent \} \cdot \Gamma^* \cdot Q \cdot \Gamma^+ \cup Q \cdot \{ \cent \} \cdot \Gamma^+$
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(wobei $\cdot$ die Konkatenation ist)
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Eine \bi{Startkonfiguration} für ein Eingabewort $x$ ist $q_0\cent x$
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Ein \bi{Schritt von $M$} ist eine Relation $\bigvdash{M}{}$ auf der Menge der Konfigurationen, also $\bigvdash{M}{} \subseteq \text{Konf}(M) \times \text{Konf}(M)$.
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$\mathcal{L}_{RE} = \{ L(M) \divides M \text{ ist eine Turingmaschine} \}$
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Der Rest der Definition findet sich auf Seiten 96 - 98 (= Seiten 110 - 112 im PDF)
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\end{definition}
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Turingmaschinen, die immer halten, repräsentieren Algorithmen, die immer terminieren und die richtige Ausgabe liefern.
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Rekursive Sprachen und entscheidbare Entscheidungsprobleme sind algorithmisch erkennbar, respektive lösbar.
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Es gibt auch definitionen der TM, die ohne Startmarker $\cent$ auskommen, bei denen ist das Arbeitsband in beide Richtungen unendlich.
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Graphisch stellt man Turingmaschinen folgendermassen dar:
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Wir haben wieder einen Graphen mit gerichteten Kanten.
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Für $\delta(q, a) = (p, b, X)$ mit $q, p \in Q$, $a, b \in \Sigma$ und $X \in \{ L, R, N \}$ werden die Kanten mit folgendem Format beschriftet:
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$q \rightarrow a, X$.
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Mit einem TM die Sprache $\{ 0^n 1^n \divides n \in \N \}$ erkennen kann man nun, indem man jeweils das linkeste und rechteste Symbol durch ein anderes Symbol ersetzt,
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beispielsweise, wenn das Eingabealphabet $\Sigma = \{ 0, 1 \}$, dann könnte man $\Gamma$ das Symbol $2$ hinzufügen, mit dem man jedes bearbeitete Symbol ersetzt.
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Im Buch wird als Beispiel auf Seite 99ff (= Seite 114ff im PDF) ein komplexeres Wort gewählt,
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bei welchem ein Zeichen $a \in \alphabetbool$ durch $(a, B) \in \alphabetbool \times \{ A, B \}$ ersetzt wird,
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da wir zwei Phasen haben und zwischen denen unterscheiden wollen können.
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