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\subsection{Beweise der Nichtexistenz}
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Im Gegensatz zum Beweis, dass eine bestimmte Klasse von Programmen (Algorithmen) ein Problem lösen kann
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(was ein einfacher Existenzbeweis ist, bei welchem man eine korrekte Implementation liefern kann),
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ist der Beweis, dass diese Klasse von Programmen (Algorithmen) dies nicht tun kann viel schwieriger,
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da man (logischerweise) nicht für alle (undendlich vielen) Programme zeigen kann, dass sie das Problem nicht lösen.
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In diesem Kurs werden wir aber vorerst nur die Klasse der endlichen Automaten behandlen, welche sehr stark eingeschränkt sind,
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was diese Beweise verhältnismässig einfach macht.
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Falls also ein EA $A$ für zwei unterschiedliche Wörter $x$ und $y$ im gleichen Zustand endet (also $\hdelta(q_0, x) = \hdelta(q_0, y))$),
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so heisst das für uns von jetzt an, dass $A$ nicht zwischen $x$ und $y$ unterscheiden kann:
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\begin{lemma}[]{Unterscheidung von Wörtern}
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Sei $A$ ein EA über $\Sigma$ und $x \neq y \in \Sigma^*$ so dass
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\begin{align*}
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(q_0, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda) \text{ und } (q_0, y) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)
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\end{align*}
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für ein $p \in Q$ (also $\hdelta_A (q_0, x) = \hdelta(q_0, y) = p(x, y \in \class [p])$).
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Dann existiert für jedes $z \in \Sigma^*$ ein $r \in Q$, so dass $xz, yz \in \class[p]$, also gilt insbesondere
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\begin{align*}
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xz \in L(A) \Longleftrightarrow yz \in L(A)
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\end{align*}
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\end{lemma}
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Das obenstehende Lemma 3.3 ist ein Spezialfall einer Eigenschaft, die für jedes (deterministische) Rechnermodell gilt.
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Es besagt eigentlich nichts anderes, als dass wenn das Wort $xz$ akzeptiert wird, so wird auch das Wort $yz$
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Mithilfe von Lemma 3.3 kann man für viele Sprachen deren Nichtregularität beweisen.
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\inlineex Sei $L = \{ 0^n1^n \divides n \in \N \}$.
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Intuitiv ist diese Sprache Nichtregulär, da $n$ undendlich gross sein kann, aber ein EA logischerweise endlich ist.
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Wir müssen hier nur formal ausdrücken, dass das Zählen benötigt wird, dass $L$ akzeptiert wird:
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Dazu benutzen wir einen indirekten Beweis. Sei $A$ ein EA über $\alphabets{bool}$ und $L(A) = L$.
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Wir betrachten die Wörter $0^1, 0^2, \ldots, 0^{|Q| + 1}$.
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Weil wir $|Q| + 1$ Wörter haben, existiert $i, j \in \{ 1, 2, \ldots, |Q| + 1 \}$, so dass $\hdelta_A(q_0, 0^i) = \hdelta_A(q_0, 0^j)$,
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also gilt nach Lemma $0^i z \in L \Leftrightarrow 0^j z \in L \smallhspace \forall z \in \wordbool$.
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Dies gilt jedoch nicht, weil für jedes $z = 1^i$ zwar jedes $0^i 1^i \in L$ gilt, aber $0^j 1^j \notin L$
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Um die Nichtregularität konkreter Sprachen zu beweisen, sucht man nach einfach verifizierbaren Eigenschaften,
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denn wenn eine Sprache eine dieser Eigenschaften \textit{nicht} erfüllt, so ist sie nicht regulär.
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% TODO: For Kolmogorov complexity elaborate some more, i.e. how to do proofs properly / how to derive a word more easily
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% -> TA Slides explain that really well
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Eine Methode zum Beweis von Aussagen $L \notin \mathcal{L}_{\text{EA}}$ nennt sich \bi{Pumping} und basiert auf folgender Idee:
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Wenn für ein Wort $x$ und einen Zustand $p$ gilt, dass $(p, x) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$, so gilt auch für alle $i \in \N$, dass $(p, x^i) \bigvdash{A}{*} (p, \lambda)$.
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Also kann $A$ nicht zwischen $x$ und $x^i$ unterscheiden, oder in anderen Worten, wie viele $x$ er gelesen hat,
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also akzeptiert $A$ entweder alle Wörter der Form $yx^iz$ (für $i \in \N$) oder keines davon
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\begin{lemma}[]{Pumping-Lemma für reguläre Sprachen}
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Sei $L$ regulär. Dann existiert ein Wort $w \in \word$
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\end{lemma}
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Bei der Wahl von den Teilen von $w$ sollte man idealerweise einen Teil bereits gross genug zu wählen, so dass (i) zutrifft, was es nachher einfacher macht.
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