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\subsection{Wahrscheinlichkeitsräume}
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\shortterm $\Omega$ \bi{Grundraum}, $\omega \in \Omega$ \bi{Elementarereignis}
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\shortdefinition[Sigma-Algebra] $\cF \subseteq \cP(\Omega)$ ist $\sigma$-Algebra, falls:
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\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
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\item $\Omega \subseteq \cF$
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\item $A \in \cF \Rightarrow A^C \in \cF$ ($A$ Ereignis $\Rightarrow$ nicht $A$ auch)
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\item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \cF$\\
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($A_1, \ldots$ Ereignisse $\Rightarrow$ $A_1$ oder $A_2$ oder \dots ein Ereignis)
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\end{enumerate}
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\shortexample $\sigma$-Algebren bei 1x Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$)
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\begin{itemize}
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\item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \}$
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\item $\cF = \cP(\Omega)$, dabei $|\cF| = 64$
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\item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$
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\end{itemize}
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Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
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\begin{itemize}
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\item $\cF = \{ \Omega \}$ (Komplementärereignis $\emptyset$ fehlt, E2 verletzt)
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\item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3 \}, \{ 4, 5, 6 \}, \{ 1 \}, \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$\\
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(E3 verletzt, da bspw $\{ 4, 5, 6 \} \cup \{ 1 \} \notin \cF$)
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\end{itemize}
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\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsmass}
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\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$, falls folgende Eigenschaften gelten
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\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
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\item $\P[\Omega] = 1$
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\item ($\sigma$-\bi{Additivität}) $\P[A] = \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$,\\
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falls $A = \bigcup_{i = 1}^\infty A_i$ \textit{(disjunkte Vereinigung)}
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\end{enumerate}
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\shortexample Wieder mit Würfeln und $\cF = \cP(\Omega)$, sind W.M:
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\begin{itemize}
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\item Abbildung $\forall A \in \cF \quad \P[A] = \frac{|A|}{6}$
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\item Abbildung $\forall A \in \cF \quad \P[A] = \sum_{i \in A} p_i$
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($p_i$ dabei prob. Zahl $i$ würfeln; $p_i = \frac{1}{6} \forall i \in \Omega$ ist für fairen Würfel)
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\end{itemize}
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\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsraum}
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\shortdefinition[W.R] ein Tripel $(\Omega, \cF, \P)$
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\shortterm $A$ Ereignis, \bi{tritt (nicht) ein} (für $\omega$), if $\omega \in (\notin) A$
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\shortremark $A = \varnothing$ tritt niemals ein, $A = \Omega$ immer.
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