mirror of
https://github.com/janishutz/eth-summaries.git
synced 2025-11-25 18:44:24 +00:00
64 lines
2.8 KiB
TeX
64 lines
2.8 KiB
TeX
\subsection{Rundungsfehler}
|
|
|
|
\begin{definition}[]{Absoluter \& Relativer Fehler}
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \bi{Absoluter Fehler}: $||\tilde{x} - x||$
|
|
\item \bi{Relativer Fehler}: $\displaystyle \frac{||\tilde{x} - x||}{||x||}$ für $||x|| \neq 0$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{multicols}
|
|
wobei $\tilde{x}$ eine Approximation an $x \in \R$ ist
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Rundungsfehler entstehen durch die (verhältnismässig) geringe Präzision die man mit der Darstellung von Zahlen auf Computern erreichen kann.
|
|
Zusätzlich kommt hinzu, dass durch Unterläufe (in diesem Kurs ist dies eine Zahl die zwischen $0$ und der kleinsten darstellbaren, positiven Zahl liegt) Präzision verloren gehen kann.
|
|
|
|
Überläufe hingegen sind konventionell definiert, also eine Zahl, die zu gross ist und nicht mehr dargestellt werden kann.
|
|
|
|
|
|
\setcounter{all}{9}
|
|
\begin{remark}[]{Auslöschung}
|
|
Bei der Subtraktion von zwei ähnlich grossen Zahlen kann es zu einer Addition der Fehler der beiden Zahlen kommen, was dann den relativen Fehler um einen sehr grossen Faktor vergrössert.
|
|
Die Subtraktion selbst hat einen vernachlässigbaren Fehler
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
\setcounter{all}{18}
|
|
\fancyex{Ableitung mit imaginärem Schritt} Als Referenz in Graphen wird hier oftmals die Implementation des Differenzialquotienten verwendet.
|
|
|
|
Der Trick hier ist, dass wir mit Komplexen Zahlen in der Taylor-Approximation einer glatten Funktion in $x_0$ einen rein imaginären Schritt durchführen können:
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x_0 + ih) = f(x_0) + f'(x_0)ih - \frac{1}{2} f''(x_0)h^2 - iC \cdot h^3 \text{ für } h \in \R \text{ und } h \rightarrow 0
|
|
\end{align*}
|
|
Da $f(x_0)$ und $f''(x_0)h^2$ reell sind, verschwinden die Terme, wenn wir nur den Imaginärteil des Ausdruckes weiterverwenden. Nach weiteren Vereinfachungen und Umwandlungen erhalten wir
|
|
\begin{align*}
|
|
f'(x_0) \approx \frac{\text{Im}(f(x_0 + ih))}{h}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Falls jedoch hier die Auswertung von $\text{Im}(f(x_0 + ih))$ nicht exakt ist, so kann der Fehler beträchtlich sein.
|
|
|
|
|
|
\setcounter{all}{20}
|
|
\fancyex{Konvergenzbeschleunigung nach Richardson}
|
|
\begin{align*}
|
|
y f'(x) & = y d\left(\frac{h}{2}\right) + \frac{1}{6} f'''(x) h^2 + \frac{1}{480}f^{(s)} h^4 + \ldots - f'(x) \\
|
|
& = -d(h) - \frac{1}{6}f'''(x) h^2 + \frac{1}{120} f^{(s)}(x) h^n \Leftrightarrow 3 f'(x) \\
|
|
& = 4 d\left(\frac{h}{2}\right) d(h) + \tco{h^4} \Leftrightarrow
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
|
|
\fhlc{Cyan}{Schema}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
d(h) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
wobei im Schema dann
|
|
\begin{align*}
|
|
R_{l, 0} = d\left( \frac{h}{2^l} \right)
|
|
\end{align*}
|
|
und
|
|
\begin{align*}
|
|
R_{l, k} = \frac{4^k \cdot R_{l, k - 1} - R_{l - 1, k - 1}}{4^k - 1}
|
|
\end{align*}
|
|
und $f'(x) = R_{l, k} + C \cdot \left( \frac{h}{2^l} \right)^{2k + 2}$
|