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\subsubsection{Gauss Elimination / LU Zerlegung}
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Das Anwenden der Gauss-Elimintation ergibt die LU-Zerlegung, gegeben durch $A \in \mathbb{R}^{n\times m} = PLU$,
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wobei $U$ eine obere Dreiecksmatrix (die resultierende Matrix der Gauss-Elimintation), $L$ eine untere Dreiecksmatrix (Matrix aller Schritte der Gauss-Elimintation)
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und $P$ eine Permutationsmatrix ist.
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\innumpy können wir \texttt{P, L, U = scipy.linalg.lu(A)} (\texttt{Numpy} liefert keine LU-Zerlegung). Mit \texttt{scipy.linalg.lu\_solve(P, L, U)} kann man dann das System lösen.
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Jedoch ist dies nicht sinnvoll, wenn wir die Dreiecksmatrizen gar nicht benötigen. In diesem Fall verwenden wir einfach \texttt{numpy.linalg.solve(A)}
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\begin{code}{python}
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L = np.linalg.solve(A) # A = L @ L.T
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y = np.linalg.solve(L, b)
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x = np.linalg.solve(L.T, y)
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\end{code}
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\shade{Cyan}{Cholesky Zerlegung} ($A$ ist positiv defefinit und hermetisch)
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$A = LDL^H = \underbrace{L\sqrt{D}}_{R^H}\underbrace{\sqrt{D}L^H}_{R} = R^H R$
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Diese Zerlegung kann $Ax = b$ potenziell schneller lösen als LU und wir verwenden nur halb so viel Speicher.
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Zudem ist keine Pivotierung nötig, also ist das Verfahren für symmetrisch positiv definite Matrizen numerisch stabil.
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Im Folgenden ist der Cholesky algorithmus in Pseudocode beschrieben:
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\begin{algorithm}
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\begin{spacing}{1.2}
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\caption{\textsc{cholesky}(A)}
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\begin{algorithmic}[1]
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\State $n \gets \texttt{A.shape[0]}$
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\State $l \gets$ Initialisiere ein $n \times n$ array
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\For{$j = 1, 2, \ldots, n$}
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\State $l_{jj} \gets \sqrt{A_{jj} - \sum_{k = 1}^{j - 1} l_{jk}^2}$
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\For{$i = j + 1, \ldots, n$}
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\State $l_{ij} \gets \displaystyle\frac{1}{l_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k = 1}^{j - 1} l_{ik} l_{jk} \right)$
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\EndFor
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\EndFor
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\State \Return $l$
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\end{algorithmic}
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\end{spacing}
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\end{algorithm}
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\innumpy haben wir via \texttt{scipy.linalg} die Funktionen \texttt{cholesky}, \texttt{cho\_factor} und \texttt{cho\_solve}, wie auch bereits äquivalent für die LU-Zerlegung
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