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TeX
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TeX
\subsubsection{Monombasis}
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\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
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Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
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% FIXME: It'd probably be better to use align* environment in general, it's much more flexible
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% FIXME: Having a new line before $$ (or align* environment for that matter) makes the space between text and math env larger!
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$$
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p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
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\underbrace{
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\begin{bmatrix}
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1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
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1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
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\end{bmatrix}
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}_\text{Vandermonde Matrix}
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\begin{bmatrix}
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\alpha_0 \\
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\alpha_1 \\
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\vdots \\
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\alpha_n
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\end{bmatrix}
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=
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\begin{bmatrix}
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y_0 \\
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y_1 \\
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\vdots \\
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y_n
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\end{bmatrix}
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$$
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Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
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Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
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\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
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\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)
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