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\newsectionNoPB
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\subsection{Newtonverfahren in 1D}
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Beim Newtonverfahren verwendet man für jeden Iterationsschritt die lineare Funktion $\tilde{F} = F(x^(k)) + F'(x^{(k)})(x - x^{(k)})$. Die Nullstelle ist dann:
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\rmvspace
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\begin{align*}
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x^{(k + 1)} := x^{(k)} - \frac{F(x^{(k)})}{F'(x^{(k)})}, \mediumhspace \text{falls } F'(x^{(k)}) \neq 0
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\end{align*}
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\stepLabelNumber{all}
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\inlineremark Die Newton-Iteration ist eine Fixpunktiteration mit quadratischer lokaler Konvergenz, mit
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\begin{align*}
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\phi(x) = x - \frac{F(x)}{F'(x)} \Longrightarrow \phi'(x) = \frac{F(x) F''(x)}{(F'(x))^2} \Longrightarrow \phi'(x^*) = 0
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\end{align*}
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\drmvspace
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falls $F(x^*) = 0$ und $F^(x^*) \neq 0$
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\innumpy Ist das Newton-Verfahren mit sehr wenig code implementierbar:
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\begin{code}{python}
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def newton_method(f, df, x: float, tol=1e-12, maxIter=100):
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""" Use Newton's method to find zeros, requires derivative of f """
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k = 0
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fx = f(x)
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dfx = df(x)
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while (np.abs(fx) > tol and k < maxIter):
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x -= fx / dfx
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k += 1
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return x, k
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\end{code}
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