eth-summaries/semester4/ps/ps-rb/parts/06_limits.tex

{\footnotesize
    \notation $\displaystyle\bar{X}_n = \frac{1}{n}S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_n$
}

\theorem \textbf{Schwaches Gesetz der grossen Zahlen}\\
\smalltext{$X_1,X_2,\ldots$ unabh.,$\quad\forall k: \E[X_k] = \mu,\V[X_k]=\sigma^2$}

Es konvergiert $\bar{X}_n$ für $n\to\infty$ gegen $\mu = \E[X_i]$ 
$$
    \P\Bigl[ |\bar{X}_n - \mu| < \epsilon \Bigr] \overset{n\to\infty}{\rightarrow} 0
$$
{\footnotesize
    \remark $\V\Bigl[\overbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i}^{\bar{X}_n}\Bigr] = \frac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n\V[X_i] = \frac{n}{n^2}\V[X_i] = \frac{1}{n}\V[X_i]$
}

\theorem \textbf{Starkes Gesetz der grossen Zahlen}\\
\smalltext{$X_1,X_2,\ldots$ unabh.,$\quad\forall k: \E[X_k] = \mu$}
$$
    \P\biggl[ \Bigl\{ \omega\in\Omega \sep \bar{X}_n \overset{n\to\infty}{\to}\mu \Bigr\} \biggr] = 1
$$

\definition \textbf{Konvergenz in Verteilung}\\
\smalltext{$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}, X$ Zufallsvariablen}
$$
    X_n \overset{\text{Approx.}}{\approx} X \qquad \text{für } n \to \infty
$$
Falls:
$$
    \forall x \in \R:\quad \underset{n\to\infty}{\lim}\P\Bigl[ X_n \leq x \Bigr] = \P\Bigl[X \leq x\Bigr]
$$

{\footnotesize
    \remark Diskrete Zufallsvariablen können zu stetigen konvergieren.
}




% Slides viel detaillierter als Skript
\theorem \textbf{Zentraler Grentwertsatz}\\
\smalltext{$(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d s.d. $\E[X_k]=\mu, \V[X_k]=\sigma^2, S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$}
$$
    \underset{n\to\infty}{\lim}\P\Biggl[ \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leq x \Biggr] = \Phi(x)
$$
$\Phi(x)$ ist die Verteilung von $\mathcal{N}(0, 1)$.
$$
    S_n \overset{\text{approx.}}{\sim} \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2) 
$$
\subtext{ZGS wird häufig zur Approximation von Summen verwendet}

\definition \textbf{Standardisierung von $S_n$}
$$
    S_n^* := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{S_n - \E[S_n]}{\sqrt{\V[S_n]}}
$$
\subtext{Im Skript auch $Z_n$}

% Slides: Chernoff bounds & mehr ZGS (nicht im Skript)

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div % s.d. Statistik auf einer Seite bleibt