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TeX
\subsection{Gemeinsame Diskrete Verteilung}
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\definition \textbf{Gemeinsame diskrete Verteilung}\\
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\smalltext{$X_1,\ldots,X_n$ diskret,$\quad W_i \cleq \N,\quad X_i \in W_i$ fast sicher}
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$$
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p := \Bigl(p(x_1,\ldots,x_n)\Bigr)_{x_1\in W_1,\ldots x_n\in W_n}
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$$
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$$
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p(x_1,\ldots,x_n) = \P\Bigl[ X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n \Bigr]
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$$
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\theorem $\displaystyle\sum_{x_1\in W_1,\ldots,x_n\in W_n} p(x_1,\ldots,x_n) = 1$
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\theorem \textbf{Randverteilung}\\
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\smalltext{Die einzelnen Verteilungen $p_X$ lassen sich extrahieren:}\\
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\subtext{$\forall z \in W_i$:}
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\begin{align*}
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\P[X_i = z] = \underset{x_1,\ldots,z,\ldots,x_n}{\sum} p\Bigl( x_1,\ldots,x_{i-1},z,x_{i+1},\ldots,x_n \Bigr)
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\end{align*}
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\subtext{$X_1,\ldots,X_n$ diskret,$\quad$ gem. Vert. $p = \Bigl( p(x_1,\dots,x_n) \Bigr)_{x_1 \in W_1,\ldots,x_n \in W_n}$}
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{\footnotesize
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\remark Nicht umgekehrt: Aus den Randverteilungen lässt sich nichts über die gem. Vert. schliessen.
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}
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\subsection{Gemeinsame Stetige Verteilung}
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\definition \textbf{Gemeinsame Stetige Verteilung}\\
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\smalltext{$X_1,\ldots,X_n: \Omega\to\R,\quad f:\R^n\to\R_+,\quad a_1,\ldots a_n \in \R$}
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\begin{align*}
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&\P\Bigl[ X_1\leq a_1,\ldots,X_n\leq a_n \Bigr] \\
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&= \int_{-\infty}^{a_1}\cdots\int_{-\infty}^{a_n} f(x_1,\ldots,x_n)\ dx_n\ldots dx_1
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\end{align*}
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\subtext{$f$ heisst \textit{gemeinsame Dichte} von $(X_1,\ldots,X_n)$}
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{\footnotesize
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\remark Seien $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{X}$:
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\begin{align*}
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&\P\Bigl[ X_1 \leq x,\ldots, X_n \leq x \Bigr] = \prod_{i=1}^n \P[X_i \leq n] = \Bigl( \P[X \leq n] \Bigr)^n
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\end{align*}
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}
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\newpage
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\theorem $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,\ldots,x_n)\ dx_n\ dx_1 = 1$\\
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\subtext{Umgekehrt existiert für jedes solches $f$ ein Raum $(\Omega, \F, \P)$}
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{\scriptsize
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\textbf{Beispiel:} Finde $c$ s.d. $f_{X,Y}$ eine Dichte ist, wobei
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$
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f_{X,Y}=\begin{cases}
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ce^{-x} & 0 < x < y \\
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0 & \text{sonst}
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\end{cases}
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$
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\begin{align*}
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\int_0^\infty \int_0^x ce^{-x}\ dy\ dx &= c\cdot \int_0^\infty xe^{-x}\ dx \\
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&= c\cdot\biggl( \Bigl[ -xe^{-x} \Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x}\ dx \biggr) \\
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&= c\cdot\biggl( 0 + \Bigl[ -e^{-x} \Bigr]_0^\infty \biggr) \\
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&= c
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\end{align*}
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Also gilt wegen dem vorherigen Satz: $c=1$.
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}
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{\footnotesize
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\remark Randdichten: Integration über übrige Variablen.
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}
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% Bedingte Dichten fehlen noch, siehe HW5, F3
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\theorem \textbf{Erwartungswert}
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\begin{align*}
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&\E\Bigl[ \phi(X_1,\ldots,X_n) \Bigr] \\
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&= \int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\phi(x_1,\ldots,x_n)\cdot f(x_1\cdots x_n)\ dx_n\ldots dx_1
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\end{align*}
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% Randverteilungen
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\theorem \textbf{Unabhängigkeit}
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$$
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X_1,\ldots,X_n \text{ stetig, } f(x_1,\ldots,x_n) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)
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$$
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{\scriptsize
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\remark Unabhängige stetige Variablen sind automatisch gemeinsam stetig
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}
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% It's important to him to know \E[X]\E[Y] = \E[X\cdot Y] isn't enough for indep., requires \E[\phi(X)]\E[\psi(X)] instead \forall \phi,\psi
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