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\subsection{p-Wert}
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Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
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$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mindestens so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$, angenommen, dass die Nullhypothese korrekt ist.
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% Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
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\shortdefinition[Geordnete Testsammlung]
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$T$ Teststatistik, Familie von Tests $(T, K_t)_{t \geq 0}$ \bi{geordnet bezgl. $T$}, falls $\forall t$ gilt $K_t \subseteq \R$ und $\forall s \leq t$ gilt $K_s \supset K_t$.
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Typische Beispiele:
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\begin{itemize}
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\item $K_t = (t, \8)$ (rechtsseitiger Test)
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\item $K_t = (-\8, t)$ (linksseitiger Test)
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\item $K_t = (-\8, t) \cup (t, \8)$ (beidseitiger Test)
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\end{itemize}
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\shortdefinition[p-Wert] $p\text{-Wert} = G(T) : \Omega \rightarrow [0, 1]$, mit $G(t) = \P_{\vartheta_0}[T \in K_t]$.
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Er ist eine Zufallsvariable, hängt direkt von $x_i$ ab. Wiederholen des Tests generiert neuen $p$-Wert.
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Wenn $T$ stetig und $K_t = (t, \8)$, dann gleichverteilt auf $[0, 1]$.
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\inlineintuition Besagt, welche Tests $H_0$ ablehnen würden (alle Tests mit $\alpha > p$ lehnen $H_0$ ab). $H_A$ spielt \textit{keine} Rolle.
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Es heisst \textit{NICHT}, dass der $p$-Wert die W. \textit{IST}, dass die Hypothese richtig ist.
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\howto{Berechnung $p$-Wert}{
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\begin{itemize}
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\item Für rechtsseitigen Test: $p_r = \P[T \geq t]$
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\item Für linksseitigen Test: $p_l = \P[T \leq t]$
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\item Für beidseitigen Test: $p = 2 \min\{ p_l, p_r \}$, falls Verteilung symmetrisch um $0$, dann $p = \P[|T| \geq |t|]$
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\end{itemize}
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wobei für alle $t$ eine Realisierung der Teststatistik $T$ ist.
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}
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