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% │ AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com> │
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% Lecture: \chi here are used as RELU function!
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\subsection{Stückweise Lineare Interpolation}
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Globale Interpolation (also Interpolation auf dem ganzen Intervall $]-\infty, \infty[$) funktioniert nur dann gut, wenn:
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\rmvspace
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\begin{enumerate}[label=(\alph*), noitemsep]
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\item die gegebenen Interpolationspunkte als Chebyshev-Knoten oder -Abszissen verwendet werden können
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\item die Funktion glatt ist
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\end{enumerate}
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Es müssen beide obige Eigenschaften zutreffen.
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Eine Idee um die Einschränkungen zu reduzieren oder komplett zu entfernen ist es, das Intervall zu unterteilen, oder formaler,
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das Intervall $I = [a, b]$ in viele kleinere Intervalle zu zerlegen.
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Wir haben dann ein Polynom vom Grad $n$ auf jedem Teilintervall mit $n + 1$ Punkten, was den Fehler verringert:
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\begin{align*}
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|f(x) - s(x)| < \frac{h^{n + 1}}{(n + 1)!} ||f^{(n + 1)}||_{\infty}
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\end{align*}
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Seien $N + 1$ Messpunkte gegeben. Wir verwenden sie als Knoten
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(im Englischen \textit{breakpoints} gennant. Die Knoten sind also nicht dasselbe wie in den vorigen Kapiteln, es gibt aber keinen wirklich sinnvollen Namen im Deutschen)
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diese $N + 1$ Messpunkte. Die Knoten dienen Paarweise als Abgrenzung der neuen, kleinen Intervalle, die wir erstellt haben.
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Die linearen Interpolanten für jedes Intervall sind (mit $h_j = x_j - x_{j - 1}$):
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\begin{align*}
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s_j(x) = y_{j - 1}\frac{x_j - x}{h_j} + y_j \frac{x - x_{j - 1}}{h_j} \mediumhspace \text{für } x \in [x_{j - 1}, x_j]
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\end{align*}
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% NOTE: This might just be little more than a page in the script, but he talked about it for like 20 min in the lecture...
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% and he even went as far as telling people to really pay attention...
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% so I guess that means it is *not* important (could well not be important actually)
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Wie man nun zu dieser Formel kommt:
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Sei $\chi(t) = t \smallhspace \forall t \in [0, 1]$.
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Die Funktion $f(t) = y_0 \chi(1 - t) + y_1 \chi(t)$ hat also die Interpolationseigenschaften $f(0) = y_0$ und $f(1) = y_1$ und ist linear in $t$.
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Die Interpolation $s_j(x)$ auf $[x_{j - 1}, x_j]$ entsteht dann also aus $f$ mit Variablenwechsel $t = \frac{x - x_{j - 1}}{h_j} \in [0, 1] \leftrightarrow x = x_{j - 1} + h_j t$,
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also gilt:
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\begin{align*}
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s_j(x) = y_{j - 1} \chi \left( \frac{x_j - x}{h_j} \right) + y_j \chi \left( \frac{x - x_{j - 1}}{h_j} \right) \mediumhspace \text{für } x \in [x_{j - 1}, x_j]
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\end{align*}
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Dies ist eine lokale Interpolation und $s_j$ ist $0$ ausser im definierten Intervall.
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Die Idee des Variablenwechsel ist es, das Intervall, auf welchem die Funktion definiert ist von $[0, 1]$ nach $[x_{j - 1}, x_j]$ zu verschieben.
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