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% │ AUTHOR: Janis Hutz<info@janishutz.com> │
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\subsection{Iterative Verfahren}
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\inlinedef Ein iteratives Verfahren ist ein Algorithmus $\phi_F$, der die Folge $x^{(0)}, x^{(1)}, \ldots$ von approximativen Lösungen $x^{(j)}$ generiert.
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Die Definition ist dabei rekursiv: $x^{(k)} := \phi_F(x^{(k - 1)})$, sofern $x^{(0)}$ und $\phi$ gegeben sind.
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\setLabelNumber{all}{5}
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\fancydef{Konvergenz} $\phi_F$ zur Lösung $F(x^*) = 0$ konvergiert, wenn $x^{(k)} \rightarrow x^*$, mit $x^*$ die Nullstelle.
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\setLabelNumber{all}{8}
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\fancydef{Norm}
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\innumpy haben wir \texttt{numpy.linalg.norm}, welches zwei Argumente nimmt. Dabei ist das erste Argument der Vektor und das Zweite die Art der Norm.
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Ohne zweites Argument wird die Euklidische Norm $||x||_2$, mit Argument $1$ wird die $1$-Norm $||x||_1 := |x_1| + \ldots + |x_n|$
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und mit mit \texttt{inf} als Argument wird die $\infty$-Norm, bzw. die Max-Norm $||x||_\infty := \max\{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}$ berechnet.
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\stepLabelNumber{all}
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\inlinedef Zwei Normen $||\cdot||_1$ und $||\cdot||_2$ sind äquivalent auf $\cV$, falls es Konstanten $\underline{C}$ und $\overline{C}$ gibt so dass
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\rmvspace
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\begin{align*}
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\underline{C} \cdot ||v||_1 \leq ||v||_2 \leq \overline{C} \cdot ||v||_1 \mediumhspace \forall v \in \cV, \text{ mit } \cV \text{ ein linearer Raum}
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\end{align*}
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\drmvspace
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\inlinetheorem Falls $\dim(\cV) < \infty$, dann sind alle Normen auf $\cV$ äquivalent
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\stepLabelNumber{all}
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\fancydef{Lineare Konvergenz} $x^{(k)}$ konvergiert linear gegen $x^*$, falls es ein $L < 1$ gibt, so dass
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\rmvspace
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\begin{align*}
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||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq L||x^{(k)} - x^*|| \smallhspace \forall k \geq k_0, \smallhspace L \text{ genannt Konvergenzrate }
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\end{align*}
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\drmvspace\stepLabelNumber{all}
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\fancydef{Konvergenzordnung} $p$ für das Verfahren, falls es ein $C > 0$ gibt, so dass
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\rmvspace
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\begin{align*}
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||x^{(k + 1)} - x^*|| \leq C||x^{(k)} - x^*||^p \smallhspace \forall k \in \N \text{ mit } C < 1 \text{ für } p = 1
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\end{align*}
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\drmvspace
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Wir nehmen dabei an, dass $||x^{(0)} - x^*|| < 1$, damit wir eine konvergente Folge haben.
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Man kann die Konvergenzordnung folgendermassen abschätzen, mit $\varepsilon_k := ||x^{(k)} - x^*||$ (Konvergenzrate in Bemerkung \ref{all:6-1-19}):
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\rmvspace
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\begin{align*}
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p \approx \frac{\log(\varepsilon_{k + 1}) - \log(\varepsilon_k)}{\log(\varepsilon_k) - \varepsilon_{k - 1}}
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\end{align*}
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\drmvspace
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Intuitiv haben wir Quadratische (oder Kubische, etc.) Konvergenzordnung, wenn sich die Anzahl Nullen im Fehler jede Iteration verdoppeln (verdreifachen, etc.)
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\numberingOff
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\inlineremark Eine höhere Konvergenzordnung ist in Lin-Log-Skala an einer gekrümmten Konvergenzkurve erkennbar.
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\numberingOn
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\rmvspace\setLabelNumber{all}{19}
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\fancyremark{Abschätzung der Konvergenzrate} Sei $\varepsilon_k := ||x^{(k)} - x^*||$ die Norm des Fehlers im $k$-ten Schritt.
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\drmvspace\rmvspace
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\begin{align*}
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\varepsilon_{k + 1} \approx L \cdot \varepsilon_k \Longrightarrow \log(\varepsilon_{k + 1}) \approx \log(L) + \log(\varepsilon_k)
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\Longrightarrow \varepsilon_{k + 1} \approx k \log(L) + \log(\varepsilon_0)
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\end{align*}
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\drmvspace
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Untenstehender Code berechnet den Fehler und die Konvergenzrate von $\displaystyle x^{(k + 1)} = x^{(k)} + \frac{\cos(x^{(k)}) + 1}{\sin(x^{(k)})}$.
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Dabei verwenden wir $x^{(15)}$ anstelle von $x^*$ zur Berechnung der Konvergenzrate, da $x^*$ meist unbekannt ist.
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\drmvspace
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\begin{code}{python}
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def linear_convergance(x):
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y = [] # container for the x(j)
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for k in range(15):
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x = x + (np.cos(x) + 1) / np.sin(x) # apply the iteration formula
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y += [x] # store the value in the container
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err = abs(np.array(y) - x) # estimation for the error
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rate = err[1:] / err[:-1]
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# estimation for convergence rate
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return err, rate
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\end{code}
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