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\subsection{Alphabete, Wörter, Sprachen}

\begin{definition}[]{Alphabet}
    Eine endliche, nicht leere Menge $\Sigma$. Elemente sind Buchstaben (Zeichen \& Symbole). 

    Beispiele: $\alphabets{bool}$, $\alphabets{lat}$ latin characters, $\alphabets{Tastatur}$, $\Sigma_m$ $m$-adische Zahlen ($m$-ary numbers, zero index)
\end{definition}

\begin{definition}[]{Wort}
    Über $\Sigma$ eine (möglicherweise leere) Folge von Buchstaben aus $\Sigma$. Leeres Wort $\lambda$ (ab und zu $\varepsilon$) hat keine Buchstaben.

    $|w|$ ist die Länge des Wortes (Anzahl Buchstaben im Wort), während $\Sigma^*$ die Menge aller Wörter über $\Sigma$ ist und $\Sigma^+ = \Sigma^* - \{\lambda\}$

    In diesem Kurs werden Wörter ohne Komma geschrieben, also $x_1x_2\ldots x_n$ statt $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
    Für das Leersymbol gilt $|\text{\textvisiblespace}|$, also ist es nicht dasselbe wie $\lambda$
\end{definition}

Für viele der Berechnungen in Verbindung mit der Länge der Wörter kann Kombinatorik nützlich werden. 
In Kapitel \ref{sec:combinatorics} findet sich eine Zusammenfassung über jenes Thema (in English)

Ein mögliches Alphabet beispielsweise um einen Graphen darzustellen ist folgendes: 

Angenommen, wir speichern den Graphen als Adjezenzmatrix ab, dann können wir beispielsweise mit dem Alphabet $\Sigma = \{0, 1, \#\}$ diese Matrix darstellen, in dem wir jede neue Linie mit einem $\#$ abgrenzen.
Das Problem hierbei ist jedoch, dass dies nicht so effizient ist, besonders nicht, wenn der Graph sparse ist, da wir dann viele \# im Vergleich zu nützlicher Information haben.

\begin{definition}[]{Konkatenation}
    $\Sigma^* \times \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*$, so dass Kon$(x, y) = x \cdot y = xy \smallhspace \forall x, y \in \Sigma^*$.

    Intuitiv ist dies genau das was man denkt: Wörter zusammenhängen (wie in Programmiersprachen). 
    Die Operation ist assoziativ und hat das Neutralelement $\lambda$, was heisst, dass $(\Sigma^*, \text{Kon})$ ein Monoid ist.

    Offensichtlich ist die Konkatenation nur für ein-elementige Alphabete kommutativ.

    Die Notation $(abc)^n$ wird für die $n$-fache Konkatenation von $abc$ verwendet
\end{definition}


\begin{definition}[]{Umkehrung}
    Sei $a = a_1 a_2 \ldots a_n$, wobei $a_i \in \Sigma$ für $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$, dann ist die Umkehrung von $a$, $a^\tR = a_n a_{n - 1} \ldots a_1$
\end{definition}


\begin{definition}[]{Iteration}
    Die $i$-te Iteration $x^i$ von $x \in \Sigma^*$ für alle $i \in \N$ ist definiert als $x^0 = \lambda$, $x^1 = x$ und $x^i = xx^{i - 1}$
\end{definition}


\begin{definition}[]{Teilwort, Präfix, Suffix}
    Seien $v, w \in \Sigma^*$
    \begin{itemize}
        \item $v$ heisst \bi{Präfix} von $w \Longleftrightarrow \exists y \in \Sigma^* : w = vy$
        \item $v$ heisst \bi{Suffix} von $w \Longleftrightarrow \exists x \in \Sigma^* : w = xv$
        \item $v$ heisst \bi{Teilwort} von $w \Longleftrightarrow \exists x, y \in \Sigma^* : w = xvy$
        \item $v \neq \lambda$ heisst \bi{echtes} Teilwort (gilt auch für Präfix, Suffix) von $w$ genau dann, wenn $v \neq w$ und $v$ ein Teilwort (oder eben Präfix oder Suffix) von $w$ ist
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[]{Kardinalität, Vorkommen und Potenzmenge}
    Für Wort $x \in \Sigma^*$ und Buchstabe $a \in \Sigma$ ist $|x|_a$ definiert als die Anzahl Male, die $a$ in $x$ vorkommt.

    Für jede Menge $A$ ist $|A|$ die Kardinalität und $\mathcal{P}(A) = \{S | S \subseteq A\}$ die Potenzmenge von $A$
\end{definition}


\begin{definition}[]{Kanonische Ordnung}
    Wir definieren eine Ordnung $s_1 < \ldots < s_m$ auf $\Sigma$. Die \bi{kanonische Ordnung} auf $\Sigma^*$ für $u, v \in \Sigma^*$ ist definiert als:
    \begin{align*}
        u < v \Longleftrightarrow |u| < |v| \lor (|u| = |v| \land u = x \cdot s_i \cdot u' \land v = x \cdot s_j \cdot v') \text{ für beliebige $x, u', v' \in \Sigma^*$ und $i < j$}
    \end{align*}

    Oder in Worten, geordnet nach Länge und dann danach für den ersten nicht gemeinsamen Buchstaben, nach dessen Ordnung.
\end{definition}


\begin{definition}[]{Sprache}
    $L \subseteq \Sigma^*$ ist eine Sprache, deren Komplement $L^C = \Sigma^* - L$ ist. 
    Dabei ist $L_{\emptyset}$ die \bi{leere Sprache} und $L_{\lambda}$ die einelementige Sprache die nur aus dem leeren Wort besteht.

    Die \bi{Konkatenation} von $L_1$ und $L_2$ ist $L_1 \cdot L_2 = L_1 L_2 = \{ vw \divides v \in L_1 \land w \in L_2 \}$ und $L^0 := L_{\lambda}$ und $L^{i + 1} = L^i \cdot L \smallhspace \forall i \in \N$ und $L^* = \bigcup_{i \in \N} L^{i}$ ist der \bi{Kleene'sche Stern} von $L$, wobei $L^+ = \bigcup_{i \in \N - \{0\}} L^i = L \cdot L^*$
\end{definition}

Für jede Sprache $L$ gilt $L^2 \subseteq L \Longrightarrow L = \emptyset \lor L = \{ \lambda \} \lor L$ ist undendlich. 
Diese Aussage muss jedoch an der Prüfung bewiesen werden (nicht im Buch vorhanden)

Da Sprachen Mengen sind, gelten auch die Üblichen Operationen, wie Vereinigung ($\cup$) und Schnitt ($\cap$).
Die Gleichheit von zwei Sprachen bestimmen wir weiter mit $A \subseteq B \land B \subseteq A \Rightarrow A = B$.
Um $A \subseteq B$ zu zeigen reicht es hier zu zeigen dass für jedes $x \in A$, $x \in B$ hält.
Wir betrachten nun, wie die üblichen Operationen mit der neu hinzugefügten Konkatenation interagieren.

\begin{lemma}[]{Distributivität von Kon und $\cup$}
    Für Sprachen $L_1, L_2$ und $L_3$ über $\Sigma$ gilt: $L_1 L_2 \cup L_1 L_3 = L_1 (L_2 \cup L_3)$
\end{lemma}

Der Beweis hierfür läuft über die oben erwähnte ``Regel'' zur Gleichheit. 
Um das Ganze einfacher zu machen, teilen wir auf: Wir zeigen also erst $L_1 L_2 \subseteq L_1(L_2 \cup L_3)$ und dann equivalent für $L_1 L_3$.


\begin{lemma}[]{Distributivität von Kon und $\cap$}
    Für Sprachen $L_1, L_2$ und $L_3$ über $\Sigma$ gilt: $L_1 (L_2 \cap L_3) \subseteq L_1 L_2 \cap L_1 L_3$
\end{lemma}

\shortlemma Es existieren $U_1, U_2, U_3 \in \wordbool$, so dass $U_1 (U_2 \cap U_3) \subsetneq U_1 U_2 \cap U_1 U_3$



\begin{definition}[]{Homomorphismus}
    $\Sigma_1, \Sigma_2$ beliebige Alphabete. Ein \bi{Homomorphismus} von $\wordm{1}$ nach $\wordm{2}$ ist jede Funktion $h: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*$ mit:
    \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
        \item $h(\lambda) = \lambda$
        \item $h(uv) = h(u) \cdot h(v) \smallhspace \forall u, v \in \Sigma_1^*$
    \end{enumerate}
\end{definition}

Erneut gilt hier, dass im Vergleich zu allgemeinen Homomorphismen, es zur Definition von einem Homomorphismus ausreichtt, $h(a)$ für alle Buchstaben $a \in \Sigma_1$ festzulegen.